№15 из ЕГЭ 2017 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1091Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

8 log3(81x)-+ log3x−-4-≥ 24−2log3(x)- log3x− 4 log3(81x) log3x − 16

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Найдем ограничения логарифмов: $x> 0.$

Сделаем замену $log3x =t.$ Тогда при ограничениях выше имеем:

8 log3(81x)= log3(81)+log3x= 4+ t, log3(x )= 8log3x = 8t

Тогда исходное неравенство примет вид

4+ t t− 4 24 − 8t t−-4 + 4+-t ≥ t2−-16 -2t2+-8t+-8-≥ 0 (t− 4)(t+ 4) 2(t +2)2 (t−-4)(t+-4) ≥ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, решением будут

t∈(− ∞;−4)∪ {−2}∪ (4;+ ∞)

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊x < 1- log3x< −4 || 81 |⌈log3x= −2 ⇒ ||x = 1 log3x> 4 |⌈ 9 x >81

Учитывая $x> 0,$ получаем

( 1-) { 1} x∈ 0;81 ∪ 9 ∪(81;+ ∞)

Ответ:

$( 1-) { 1} 0;81 ∪ 9 ∪ (81;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1092Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x x x2---+ 2x+-8+ -x----66x---- ≤ 0 2 − 8 2 − 4 4 − 12⋅2 + 32

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t,$ тогда неравенство примет вид

--t- + t+8-+ 2---66----≤ 0 t− 8 t− 4 t − 12t+ 32 t(t− 4)+-(t2-− 82)+-66 (t− 8)(t− 4) ≤ 0 -2t2−-4t+-2-≤ 0 ⇔ --2(t-− 1)2-≤ 0 (t− 8)(t− 4) (t− 8)(t− 4)

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Выпишем подходящие $t$ и сделаем обратную замену:

[ [ x [ t= 1 ⇒ 2 = 1x ⇔ x= 0 4 < t< 8 4< 2 < 8 2< x< 3

Таким образом, получаем

x ∈{0}∪ (2;3)

Ответ:

${0}∪ (2;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1113Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

-log2x---≥10 ⋅logx2+ --2---35------ log2x− 6 log2 x− 6⋅log2x

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Общее ОДЗ всех логарифмов: $x > 0,x ⁄= 1.$ На этом ОДЗ $-1--- logx2= log2x.$

Сделаем замену $log2x =t$ :

--t- 10- --35--- t2-− 10t+-25 (t−-5)2 t− 6 ≥ t + t2− 6t ⇔ t(t− 6) ≥ 0 ⇔ t(t− 6) ≥ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим

t∈ (−∞;0)∪ {5}∪ (6;+∞ )

Сделаем обратную замену:

$pict$

Пересекая полученное множество с ОДЗ, получим

x ∈(0;1) ∪{32}∪ (64;+∞ )

Ответ:

$(0;1) ∪{32}∪ (64;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1120Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x+1 -8--−x-40-≤ 1 2⋅64 − 32

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $8x = t.$ Тогда имеем:

-8t− 40 4t−-20 2t2− 32 ≤ 1 ⇔ t2− 16 − 1 ≤0 2 2 t−24t+-4≥ 0 ⇔ --(t−-2)---≥ 0 t − 16 (t− 4)(t+ 4)

Решая данное неравенство методом интервалов, получим

t∈(−∞; −4)∪ {2}∪ (4;+∞ )

Вернемся к старой переменной:

⌊ x ⌊ |8x< − 4 |x ∈ ∅1 ⌈8x= 2 ⇒ ⌈x = 32 8 > 4 x > 3

Тогда окончательно получаем

{ } ( ) x∈ 1 ∪ 2;+ ∞ 3 3

Ответ:

${1} ( 2 ) 3 ∪ 3;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2446Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log(4x2)+ 35 --lo2g2x-− 36-≥ −1 2

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

ОДЗ логарифмов: $x> 0$ . Сделаем замену $log2x = t$ . Тогда на ОДЗ $log2(4x2)= log24 +log2x2 = 2+ 2log2x = 2+ 2t$ . Тогда неравенство примет вид:

2+-2t+35- t2− 36 ≥ −1 t2+ 2t+ 1 (t−-6)(t+-6) ≥ 0 --(t+-1)2--≥ 0 (t− 6)(t+ 6)

Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ

t∈ (− ∞;− 6)∪{−1} ∪(6;+∞ )

Перейдем к старой переменной:

−6 log2x< − 6 ⇒ x< 2 log x= − 1 ⇒ x= 2−1 2 log2x >6 ⇒ x> 26

Окончательный ответ, учитывая ОДЗ:

( ) { } x∈ 0;-1 ∪ 1 ∪(64;+∞ ) 64 2

Ответ:

$( ) 0; 164 ∪ { 12} ∪ (64; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1012Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2 log2 (25− x )− 7log2(25− x )+ 12 ≥ 0

Источники: ЕГЭ 2017, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $log2(25− x2) =t.$ Тогда неравенство примет вид

2 t − 7t+12 ≥0

Корнями уравнения $t2 − 7t+ 12= 0$ являются числа 3 и 4. Следовательно, неравенство равносильно

[t≤ 3 (t− 3)(t− 4)≥ 0 ⇔ t≥ 4

Сделаем обратную замену.

1) Первое неравенство совокупности:

2 log2(25 − x )≤ 3 log2(25− x2) ≤log28 2 0< 25− x ≤8

Решением неравенства $25− x2 > 0$ является

x∈ (−5;5)

Решением неравенства $25− x2 ≤ 8$ является

( ] [ ) x∈ −∞; −√17- ∪ √17;+ ∞

Пересекая эти решения, получим

( √--] [√ -- ) x ∈ −5;− 17 ∪ 17;5

2) Второе неравенство совокупности:

log2(25 − x2)≥ 4 2 log2(25− x )≥ log216 25− x2 ≥ 16 x ∈[−3;3]

Объединенив решения первого и второго неравенств, окончательно получим

( √--] [√ -- ) x∈ −5;− 17 ∪ [− 3;3]∪ 17;5

Ответ:

$(− 5;− √17]∪ [− 3;3]∪ [√17;5)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2432Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x x2 x x (9 − 2⋅3 ) − 62⋅(9 − 2⋅3 )− 63≥ 0

Источники: ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $9x− 2⋅3x =t.$ Тогда неравенство примет вид

[ t2− 62t− 63≥ 0 ⇔ (t+ 1)(t− 63)≥ 0 ⇔ t≤ −1 t≥ 63

Пусть $3x =z,$ тогда $t= z2 − 2z,$ следовательно, имеем:

⌊ [z2− 2z ≤ −1 [(z − 1)2 ≤ 0 | z = 1 z2− 2z ≥ 63 ⇔ (z − 9)(z+ 7)≥ 0 ⇔ ⌈ z ≥ 9 z ≤ −7

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 3x = 1 x = 0 |⌈3x ≥ 9 ⇒ |⌈x ≥ 2 3x ≤ − 7 x ∈ ∅

Следовательно, получаем

x ∈{0}∪ [2;+∞ ).

Ответ:

${0}∪ [2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2452Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3(9x)⋅2log4(64x)≤ 0. 5x − |x|

Источники: ЕГЭ 2017, официальный пробный

Показать ответ и решение

Найдем ограничения логарифмов:

( {9x > 0 (64x > 0 ⇔ x> 0

Заметим, что при этих ограничениях $|x|= x.$

Тогда при $x> 0$ по методу рационализации неравенство равносильно

(3− 1)(9x − 1)(4− 1)(64x− 1) ---------x(5x-− 1)--------≤ 0 (9x-− 1)(64x-− 1)-≤ 0 x(5x − 1)

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Следовательно, решением неравенства будут

( 1 ] [1 1) x ∈ 0;64 ∪ 9;5

Пересекая данное множество с $x> 0,$ получаем

( ] [ ) x ∈ 0; 1 ∪ 1; 1 64 9 5

Ответ:

$( 1-] [1 1) 0;64 ∪ 9;5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».