Тема Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

№15 из ЕГЭ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#566Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2log(x2−8x+17)2(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x + 7x+ 5)

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(|| (x2− 8x+ 17)2 > 0 |||| (x2− 8x+ 17)2 ⁄= 1 ||{ 3x2 +5 > 0 | x2− 8x + 17 > 0 ⇔ x∈ (−∞; −2,5)∪ (−1;4)∪(4;+∞ ) ||||| 2 ||( x2− 8x + 17 ⁄= 1 2x +7x +5 > 0

Заметим, что

x2− 8x + 17= (x − 4)2+ 1≥ 1.

При этом на ОДЗ выполнено $2 (x− 4) + 1> 1.$

Тогда имеем:

2 log(x2−8x+17)2(3x2+ 5)≤ logx2−8x+17(2x2 +7x +5) 2 2 logx2−8x+17(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x + 7x + 5) 3x2+ 5 ≤2x2 +7x +5 x2 − 7x ≤ 0

Отсюда получаем $x∈ [0;7].$

Пересечём ответ с ОДЗ и окончательно получим

x∈ [0;4)∪ (4;7]

Ответ:

$[0;4)∪ (4;7]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1866Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

25x-−-5x+2-+-26- 25x-−-7-⋅ 5x-+-1 x 5x − 1 + 5x − 7 ≤ 2 ⋅ 5 − 24

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $5x = t > 0$ :

t2 −-25t-+-26 t2 −-7t-+-1 t − 1 + t − 7 ≤ 2t − 24

ОДЗ:

{ t ⁄= 1 t ⁄= 7

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

3t − 15 ------------- ≤ 0 (t − 1)(t − 7 )

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t ∈ (− ∞; 1) ∪ [5;7)$
с учётом ОДЗ и условия $t > 0$ : $t ∈ (0;1) ∪ [5;7)$
в исходных переменных:

x ∈ (− ∞; 0) ∪ [1;log57 ).

Ответ:

$(− ∞; 0) ∪ [1;log5 7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2255Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x x 9-⋅ 4x-−-288 8 − 3 ⋅ 4 + 2x − 9 ≤ 32

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t > 0$ :

3 2 9t2 −-288 t − 3t + t − 9 ≤ 32

ОДЗ:

t ⁄= 9

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

t4 − 12t3 + 36t2 − 32t t3 − 12t2 + 36t − 32 --------t −-9---------≤ 0 ⇔ t ⋅-------t −-9--------≤ 0

Разложим многочлен третьей степени в числителе левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень $t = 2$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t − t0$ , где $t0$ – корень, тогда

| t3 − 12t2 + 36t − 32 |----t-−-2----- t3-−--2t2- | t2 − 10t + 16 − 10t2 + 36t | − 10t2 + 20t | --------16t − 32 | | 16t −-320- | |

тогда последнее неравенство равносильно

t(t-−-2)2(t −-8) t − 9 ≤ 0

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t ∈ (− ∞; 0] ∪ {2} ∪ [8; 9)$
с учётом ОДЗ и условия $t > 0$ : $t ∈ {2} ∪ [8;9 )$
в исходных переменных:

x ∈ {1} ∪ [3;log29 )

Ответ:

${1 } ∪ [3;log29)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1865Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(4x− 7)⋅logx2−4x+5(3x − 5) ≥0.

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( 2 |{ x − 4x+ 5> 0 (5 ) | x2− 4x+ 5⁄= 1 ⇔ x ∈ 3;2 ∪(2;+ ∞ ) ( 3x− 5> 0

По методу рационализации на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

(4x − 7)(x2− 4x+ 5− 1)(3x− 5− 1)≥ 0 2 (4x − 7)(x − 4x+ 4)(3x− 6)≥ 0 (4x− 7)(x− 2)3 ≥ 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда с учётом ОДЗ окончательно получаем

( ] 5 7 x ∈ 3;4 ∪(2;+∞ )

Ответ:

$(5 7] 3;4 ∪(2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#565Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x+2 x x 2x + 2x---+ -4x-+-7⋅2x++2-20-≤ 1 2 − 4 4 − 3⋅2 + 32

Источники: ЕГЭ 2016, резервный день

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t> 0$ :

2 t+ -4t-+ t2-+-7t+-20-≤ 1 t− 4 t − 12t+ 32

ОДЗ:

{t − 4 ⁄= 0 {t ⁄= 4 2 ⇔ t − 12t+ 32⁄= 0 t⁄= 8

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

t3− 8t2+ 19t− 12 --t2−-12t+32---≤ 0

Разложим числитель левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень $t= 1$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t− t0$ , где $t0$ – корень, тогда