№16 из ЕГЭ 2019 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18136Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $x$ % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $x$ , если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Кредит взят на 15 лет, размер кредита равен $S = 6$ млн рублей.

Так как платеж дифференцированный, каждый год сумма долга уменьшается на $1S5 = 615-= 0,4$ млн рублей.

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце "Выплата" вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты" за этот год.

|-----|---------------|---------------------------|-------------------|-------------| | Год | Сумм а долга | Сумма долга | Выплата | Сум ма долга| | |до начисления % | после начисления % | |после выплаты| |--1--|-------S-------|---------S-+S-⋅-x----------|-----0,4+-S⋅-x------|----S−-0,4----| |-----|---------------|---------------100----x-----|------------100-x---|-------------| |--2--|-----S−-0,4-----|---(S−-0,4)-+(S-− 0,4)⋅100---|--0,4+-(S−-0,4)⋅100--|---S−-0,4-⋅2---| |--3--|---S-−-0,4⋅2----|-(S−-0,4-⋅2)-+(S-− 0,4⋅2)⋅1x00-|-0,4+-(S−-0,4-⋅2)⋅-x100-|---S−-0,4-⋅3---| | ... | ... | ... | ... | ... | |k-+-1|---S-−-0,4⋅k----|-(S−-0,4-⋅k)-+(S-− 0,4⋅k)⋅-x-|-0,4+-(S−-0,4-⋅k)⋅-x--|S-−-0,4⋅(k+-1)| |-----|---------------|-----------------------100--|----------------100-|-------------| |-...-|------...------|------------...------------|--------...--------|-----...-----| ---15-----S-− 0,4⋅14---(S−-0,4⋅14)-+(S-− 0,4⋅14)⋅ x100-0,4-+-(S-−-0,4⋅14)⋅1x00-S-−-0,4⋅15-=0--

Размер выплаты за $k +1$ -й год можно найти по формуле

0,4+ (S − 0,4⋅k)⋅-x- =0,4+ (6− 0,4⋅k)⋅-x- = 0,4+ -6x-− 0,4kx 100 100 100 100

Известно, что наибольший платеж составит не более 1,9 млн рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наибольший, когда $k$ — минимально возможное, то есть $k+ 1 =1,$ $k = 0.$

Подставим это значение и получим неравенство:

$pict$

Также известно, что наименьший платеж составил не менее 0,5 млн. рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наименьший, когда $k$ — максимально возможное, то есть $k + 1= 15,$ $k = 14.$

Подставим это значение и получим неравенство:

$pict$

Итак, получили, что с одной стороны $x$ не больше 25, а с другой — не меньше 25, то есть $x = 25.$

Ответ: 25

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18622Максимум баллов за задание: 2

В июле некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет).

Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн рублей? Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Кредит взят на $n$ лет, размер кредита равен $S = 3$ млн рублей.

Так как размер кредита уменьшается равномерно, то есть платеж дифференцированный, то каждый год сумма долга уменьшается на $1nS$ млн рублей.

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот год.


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S +0,2S$	$1nS+ 0,2S$	$S− n1S$

$2$	$S− 1nS$	$(S− 1nS )+0,2(S− 1nS)$	$1nS+ 0,2(S − 1nS)$	$S− 1nS ⋅2$

$3$	$S− 1nS ⋅2$	$(S− 1nS ⋅2)+0,2(S− 1nS ⋅2)$	$1nS+ 0,2(S − 1nS ⋅2)$	$S− 1nS ⋅3$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$k +1$	$S− 1S ⋅k n$	$(S − 1S ⋅k)+0,2(S− 1S ⋅k) n n$	$1S+ 0,2(S − 1S ⋅k) n n$	$S− 1S ⋅(k + 1) n$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$n$	$1 S − nS ⋅(n − 1)$	$1 1 (S − nS⋅(n− 1))+0,2(S− nS ⋅(n − 1))$	$1 1 n S+ 0,2(S − nS⋅(n− 1))$	$1 S − nS⋅n = 0$

Таким образом, размер выплаты за $k + 1$ -ый год можно найти по формуле

1 ( 1 ) 1 ( 3⋅k) 3 0,6k nS + 0,2 S− n-S⋅k = n-⋅3 + 0,2 3− -n-- = n-+ 0,6 − -n--

Из формулы видно, что чем больше $k,$ тем меньше размер выплаты. Следовательно, выплата будет наименьшей за последний год, то есть при $k +1 = n,$ а значит $k = n− 1.$ Таким образом, размер минимальной выплаты равен

-3 0,6(n−-1)- 3- 0,6- 3,6 n + 0,6− n = n + 0,6− 0,6 + n = n

Из условия наименьший годовой платеж составил $0,24$ млн рублей. Запишем это в виде уравнения:

3,6 3,6 n--= 0,24 ⇔ n = 0,24 = 15

Таким образом, получили, что кредит взят на 15 лет.

Тогда размер выплаты за $k + 1$ -ый год будет равен

3- 0,6k- 3- 0,6k- n + 0,6 − n = 15 + 0,6− 15 = 0,8− 0,04k

Теперь найдем общую сумму выплат, вычислив сумму всех ежегодных выплат при $k$ от 0 до 14:

$pict$

Получили, что общая сумма выплат равна 7,8 млн рублей.

Ответ: 7,8 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#24460Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Кредит взят на 2 года, размер кредита равен $S = 147000$ .

Таким образом, в январе 2021 года долг будет составлять

147000 ⋅ 1,1 = 161700

Так как кредит погашен двумя равными платежами, можем обозначить размер одного такого платежа за $B$ .

Тогда сумма долга после выплаты за первый год составит $161700− B$ .

После начисления процентов за второй год, т.е. в январе 2022 года, сумма долга составит

$(161700− B)$ ⋅ 1,1 = 177870 − 1,1B

Так как кредит взят на 2 года, он будет полностью погашен выплатой за второй год, т.е. $B$ , а значит

$pict$

Таким образом, нашли размер одной выплаты. Всего выплат было две, а значит общая сумма выплат равна $2 ⋅84700 = 169400$

Ответ: 169400 рублей

Ответ:

169 400 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#24462Максимум баллов за задание: 2

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $\text{[math]}$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x2+ 2x+ 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $\text{[math]}$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px − (0,5x2+ 2x + 6)$ . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год $p= 10$ , а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Найдем такое количество производимой продукции $x,$ при котором прибыль фирмы будет наибольшей при фиксированном $p.$ Для этого нам нужно найти максимум выражения $px− (0,5x2 +2x +6).$

2 2 px− (0,5x + 2x +6)= − 0,5x + (p− 2)x − 6 = =− 0,5(x2− 2(p − 2)x+ 12)= 2 2 2 =− 0,5(x − 2(p − 2)x+ (p− 2) − (p− 2) + 12) = =− 0,5(x− p+ 2)2+ 0,5(p− 2)2− 6

Заметим, что $− 0,5(x− p+ 2)2 ≤ 0,$ поэтому

−0,5(x− p+ 2)2 +0,5(p− 2)2− 6 ≤0,5(p− 2)2− 6

Значит, максимальное значение выражения $px− (0,5x2 +2x +6)$ равно $0,5(p− 2)2− 6$ и достигается при

x− p+ 2= 0 ⇒ x = p− 2

То есть за каждый год фирма будет зарабатывать $0,5(p− 2)2− 6$ млн рублей.

В первый год $p = 10.$ Тогда прибыль фирмы за этот год составит $0,5(10− 2)2− 6= 26< 159$ млн рублей.

Прибыль фирмы за второй год составит $0,5(11 − 2)2− 6= 34,5$ млн рублей, так как $p =11.$ Значит, за первые два года фирма заработает $26 +34,5= 60,5< 159$ млн рублей.

Прибыль фирмы за третий год — $2 0,5(12− 2) − 6 = 44$ млн рублей, так как $p= 12.$ Значит, за первые три года фирма заработает $60,5+ 44= 104,5$ млн рублей.

Прибыль фирмы за четвертый год — $0,5(13− 2)2 − 6 = 54,5$ млн рублей, так как $p= 13.$ Всего за первые четыре года фирма заработает $104,5+ 54,5= 159$ млн рублей. Значит, строительство окупится за 4 года.

Ответ:

за 4 года

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#24465Максимум баллов за задание: 2

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей:


Месяц и год	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021	Июль 2022

Долг (млн руб.)	$S$	$0,7S$	$0,3S$	0

Найдите наименьшее $S,$ при котором каждая из выплат будет больше 3 млн руб.

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2019 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Составим таблицу с учетом данных таблицы из условия. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»:


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

2020	$S$	$1,3S$	$0,6S$	$0,7S$

2021	$0,7S$	$1,3⋅0,7S$	$0,61S$	$0,3S$

2022	$0,3S$	$1,3⋅0,3S$	$0,39S$	0

Каждая из выплат, то есть каждое из значений в столбце «Выплата», должна быть больше 3 млн рублей. При этом достаточно, чтобы наименьшее из значений выплаты было больше 3 млн рублей:

$pict$

Так как $S$ — целое число, то наименьшее подходящее $S = 8.$

Ответ: 8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.