Тема Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

№16 из ЕГЭ 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1311Максимум баллов за задание: 2

15-ого апреля планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с первого по $n$ -ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа $n$ -го месяца долг составлял 300 тысяч рублей;

– к 15-му числу $(n+ 1)$ -го месяца долг должен быть погашен полностью.

Найдите $n,$ если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2018, основная волна

Показать ответ и решение

Фраза «15-го числа каждого месяца с первого по $n$ -ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что долг каждый месяц после выплаты уменьшается на одну и ту же сумму $x$ тыс. руб. Таким образом, сначала долг составил 700 тыс. руб., после первой выплаты он составил $700 − x$ тыс. руб., после второй — $700− 2x$ тыс. руб. и так далее. Тогда после $n$ -ой выплаты долг равен $700 − nx$ тыс. рублей.

Заметим, что долг после первой выплаты равен долгу в начале второго месяца, следовательно, долг после $n$ -ой выплаты равен долгу на начало $(n+ 1)$ -го месяца. Тогда по условию $700− nx =300.$ Кроме того, за $(n+ 1)$ -ый месяц долг должен быть выплачен полностью.

Составим наглядную таблицу. Для удобства определения выплат долг после начисления процентов будем записывать в виде «долг до начисления процентов + начисленные проценты».

|------|-------------|------------------------------|---------------------| |М-есяц-|Д-олг-до %----|Долг-после-%-------------------|В-ыплата-------------| |1-----|700----------|700+-0,01-⋅700------------------|0,01⋅700+-x----------| |2-----|700−-x-------|700−-x+-0,01(700−-x)-----------|0,01(700-− x)+-x------| |3-----|700−-2x------|700−-2x+-0,01(700−-2x)---------|0,01(700-− 2x)+-x-----| |...---|...----------|...---------------------------|...------------------| |n-----|700−-(n−-1)x--|700−-(n-−-1)x-+0,01(700-− (n−-1)x)|0,01(700-− (n−-1)x)+-x -n-+1---700−-nx=-300--1,01(700−-nx)=-303--------------1,01(700-− nx)-=303---

Для нахождения выплаченной банку суммы сложим все платежи:

(0,01⋅700+ x)+ (0,01(700− x)+x)+ ⋅⋅⋅+(0,01(700− (n− 1)x) +x)+ 303= 755

Первые $n$ слагаемых образуют арифметическую прогрессию с разностью $0,01x$ . Тогда их сумма равна

a1 +an 0,01⋅700+ x+ 0,01(700− (n− 1)x)+ x 755− 303= Sn =---2-- ⋅n= ----------------2--------------- ⋅n

Преобразуем полученное выражение с учетом $700− nx= 300$ и $nx =400$ :

0,01 ⋅700+ x +0,01(700 − (n− 1)x)+ x ---------------2----------------⋅n = (0,01⋅700+ x− 0,005(n− 1)x)n = = (7+ x− 0,005nx+ 0,005x)n = (7 +x − 2+ 0,005x)n= 5n+ xn +0,005xn= = 5n+ 400+ 2= 5n+ 402

Получаем окончательно:

452= 5n +402 ⇒ n = 10

Ответ: 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2643Максимум баллов за задание: 2

В регионе А среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трех лет суммарный доход жителей региона Б увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на $m%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в обоих регионах А и Б стал одинаковым. Найдите $m.$

Источники: ЕГЭ 2018, досрочная волна, резервный день

Показать ответ и решение

Составим таблицу для региона А:

|----|------------------------------------| |Год-|С-реднемесячный доход-на душу-населения |2014-|---------------43740----------------| |2015-|-------------1,25-⋅43740--2-----------| |22001617-|----1,25(1,25⋅41,3275430⋅)4=3714,205-⋅43740-----| -------------------------------------------

Составим таблицу для региона Б. Пусть $x$ – население региона Б в 2014 году:

|-----|------------|-----------------------| |2Г0о1д4-|-Н-аселxение--|Сумм-арны6й0 д0о0х0о⋅дx ж-ителей |2015-|(1+-0,01m)x-|-----1,17⋅60000⋅x------| |2016-|(1+-0,01m-)2x-|-----1,172-⋅60-000-⋅x------| |2017-|(1+-0,01m-)3x-|-----1,173-⋅60-000-⋅x------| -------------------------------------------

Заметим, что если умножить среднемесячный доход на количество жителей, то получим суммарный доход жителей. Следовательно, суммарный доход жителей делить на число жителей — это среднемесячный доход на душу населения. Значит, в 2017 году в регионе Б среднемесячный доход на душу населения составлял

1,173⋅60000-⋅x 1,173⋅60000 (1+ 0,01m )3⋅x = (1+ 0,01m)3

По условию задачи этот доход равен среднемесячному доходу в 2017 году в регионе А:

1,173⋅60000- 3 (1+ 0,01m)3 = 1,25 ⋅43740 ( 1,17 )3 43740 (1-+0,01m)⋅1,25- = 60000-

Представим дробь в виде

43740 729 ( 9 )3 60000 = 1000 = 10-

Тогда окончательно имеем:

-----1,17------= 9- ⇔ m = 4 (1+ 0,01m )⋅1,25 10

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1283Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит на сумму $1342000$ рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что в обоих случаях кредит будет гаситься аннуитетными платежами. Составим таблицу для каждого случая, делая все вычисления в тысячах рублей.
Случай, когда кредит взят на 4 года (пусть $x$ – ежегодный платеж):
$------------------------------------------------------------------------- |Год |Долг до начисления %| Долг после начисления %| Д олг после платеж & |-1--|-------1342--------|-------1,2⋅1342--------|-----1,2⋅1342−-x------| |-2--|----1,2⋅1342-− x----|----1,2(1,2⋅1342−-x)----|--1,2(1,2⋅1342-− x)-− x-| | 3 |1,2(1,2 ⋅1342− x)− x |1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)− x)|1,2(1,2(1,2⋅1342− x)− x)| |----|-------------------|-----------------------|---------−-x----------| | 4 |1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)| 1,2(1,2(1,2(1,2⋅1342− x) |1,2(1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)| ------------−x)-− x---------------−x)−-x)---------------−x)−-x)−-x-------$ Так как в конце 4-ого года долг банку равен нулю, то получаем уравнение:

1,2(1,2(1,2(1,2⋅1342 − x)− x)− x)− x= 0,

которое, как известно для аннуитетных платежей, переписывается в удобном виде:

1,24⋅1342− x(1,23+ 1,22+ 1,2 +1)= 0

Случай, когда кредит взят на 2 года (пусть $y$ – ежегодный платеж):
$|----|-------------------|----------------------|-------------------| Год Долг до начисления % Д олг после начисления % Долг после платеж&#x0 |-12--|----1,21⋅3143242-− y----|----1,2(11,,22⋅⋅11334422− y)---|1,2(11,,22⋅⋅11334422−−-yy)−-y-| --------------------------------------------------------------------$ Аналогично получаем уравнение

1,2(1,2⋅1342 − y)− y =0 ⇔ 1,22⋅1342− y(1,2+ 1)= 0

В первом случае клиент отдаст банку $4x$ тыс. рублей, во втором случае – $2y$ тыс. рублей. Нам нужно найти $4x− 2y$ . Выразим из каждого уравнения $x$ и $y$ , тогда:

-----1,24⋅1342---- 1,22⋅1342- 4x− 2y = 4⋅1,23+ 1,22 +1,2+ 1 − 2 ⋅ 1,2+ 1 = ( 2 ) = 2⋅1,22⋅1342⋅ -----2⋅1,2----- − 1-- = (1,2+ 1)(1,22 +1) 2,2 2,88 − 2,44 = 2⋅1,22⋅1342⋅-2,2-⋅2,44--= 2-⋅12-⋅12-⋅1342-⋅44 = 22 ⋅244⋅10 = = 316,8

Мы получили ответ в тыс. рублей, следовательно, ответ: $316 800$ рублей.

Ответ: 316800 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2622Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит на сумму 69510 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018

Показать ответ и решение

Пусть $A$ — сумма кредита в рублях. Пусть $x$ — платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, $y$ — платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. По условию платежи аннуитетные, тогда рассмотрим каждый из случаев.

1) Если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен

3 2 1,1⋅(1,1 ⋅(1,1⋅A − x)− x)− x = 0 ⇔ 1,1 ⋅A − x(1,1 + 1,1+ 1)= 0

2) Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен

2 1,1(1,1⋅A − y)− y =0 ⇔ 1,1 ⋅A − y(1,1+ 1)= 0

В первом случае клиент выплатит банку за все года $3x$ рублей, во втором случае выплатит $2y$ рублей. Следовательно, нужно найти $3x − 2y$ :

3⋅1,13 ⋅A 2⋅1,12⋅A 3x− 2y = 1,12+-1,1-+1-−-1,1+-1--=

2 3⋅1,12+ 3⋅1,1− 2⋅1,12− 2⋅1,1 − 2 = 1,1 ⋅A⋅ -----------2,1⋅3,31------------=

2 --0,31--- 11⋅11⋅6951⋅31 =1,1 ⋅A ⋅2,1⋅3,31 = 21 ⋅331 = 11⋅11⋅31= 3 751

Ответ: 3751 рубль

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2