№19 из ЕГЭ 2019

а) Пусть в первый день Вася решил задач, тогда Петя в этот день решил задачу. Если Петя решил все задачи за 5 дней, можем составить таблицу решенных задач за эти 5 дней:

Заметим, что Вася за 5 дней решил на 15 задач меньше, чем Петя, но Петя прорешал весь сборник. Значит, если описываемое в задаче возможно, то Вася за следующие несколько дней (начиная с 6) должен дорешать эти 15 задач, причем это число должно представляться в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел (так как он решал каждый день на одну задачу больше, чем в предыдущий), каждое из которых больше 5. Такое может быть, например, если в шестой день он решит задач, а в седьмой — , то есть в первый день Вася решил 2 задачи, а Петя — 3.

Значит, могло получиться так, что Петя решил все задачи за 5 дней.

б) Пусть в первый день Вася решил задачу, тогда Петя в этот день решил задач. Если Петя решил все задачи за 4 дня, можем составить таблицу решенных задач за эти 4 дня:

Заметим, что Вася за 4 дня решил на 2 задачи меньше, чем Петя, при этом Петя прорешал весь сборник. Тогда, начиная с пятого дня, Васе осталось дорешать 2 задачи, при этом в пятый день он должен решить задач. Но так как , в пятый день Вася решит задач — противоречие.

Значит, такое не могло случиться.

в) Каждый из ребят решал задачи более 6 дней. Пусть Петя в первый день сделал задач и решал весь сборник ровно 7 дней. Тогда количество задач в сборнике равно (по формуле суммы арифметической прогрессии)

Разберем отдельно случаи, когда Вася решил в первый день на одну задачу больше Пети и когда на одну задачу меньше.

• Если Вася решил в первый день на одну задачу больше, чем Петя, то за семь дней он решил

  

  задач, что меньше количества задач в сборнике. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил задач. Уравнение имеет решение . За девять или более дней Вася бы решил хотя бы , то есть больше задач, чем в сборнике. В таком случае получаем, что всего в сборнике 84 задачи (в первый день Петя решил 6 задач, а Вася 7).

• Если Вася решил в первый день на одну задачу меньше, чем Петя, то за семь дней он решил

  

  задач, что меньше количества задач в сборнике. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил задач, за девять дней задач, за десять дней задач, за большее число дней как минимум задачи (что заведомо больше ). Уравнения не имеют целых решений, меньших 6. Значит, этот случай невозможен.

Теперь рассмотрим случаи, когда Петя решал задачи более семи дней. Перечислим всевозможные значения, которые может принимать сумма

Это числа

Это так называемые «треугольные числа». Нас интересует такая сумма, потому что это количество задач, решенных Васей, но без нескольких первых слагаемых (в зависимости от числа задач, решенных в первый день).

Если Петя решил весь сборник за 8 дней, то он решил задач. Нас интересует, может ли это число быть меньше 84. Необходимо проверить , , .

• При задач в сборнике . Вася в первый день решил 2 задачи (0 не может быть по условию), то есть всего Вася решил задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа на 1. Это не выполняется, получаем противоречие.
• При задач в сборнике . Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, либо быть меньше него на . Это не выполняется, получаем противоречие.
• При задач в сборнике . Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или на 1, или на . Это не выполняется, получаем противоречие.

Если же Петя решил весь сборник за 9 дней, то он решил задач. Но только при . Тогда в сборнике 81 задача. В первый день Вася решил 2 задачи. Следовательно, 81 должно быть на 1 меньше треугольного числа — противоречие.

Если Петя решал сборник более 9 дней, то он решил как минимум задач.

Значит, 84 — это наименьшее возможное количество задач в сборнике. Достигается такое число в случае, когда в первый день Петя решил 6 задач, а Вася 7.

Так как квадратное уравнение имеет два различных натуральных корня, то можно записать , где — корни уравнения. Тогда , . Всюду ниже, не умаляя общности, будем считать, что .

а) , где . Число 55 можно разложить на натуральные множители только двумя различными способами: . Значит, , или , . Получаем или соответственно.

б)

Можем к обеим частям уравнения прибавить единицу, чтобы удобно разложить на множители:

и натуральные, следовательно, множители в левой части целые неотрицательные. Число 31 можно единственным способом разложить в произведение целых неотрицательных множителей, получим

в) Имеем

Заметим, что числа и отличаются на , значит, они одной четности. Так как 2108 четное число, хотя бы один из множителей должен быть четным, но тогда и второй множитель будет четным.

Рассмотрим все возможные разложения числа 2108 на два целых четных множителя. В каждом множителе должно быть по двойке, а множители 17 и 31 либо окажутся в одном, либо в разных множителях. Также либо оба множителя должны быть отрицательны, либо оба положительны, получаем всего четыре случая:

Мы знаем, что , причем , следовательно, и . Таким образом, в каждом из случаев будет соответствовать большему из множителей.

• 

  Получаем систему

  
• 

  Получаем, что , что невозможно при натуральных и .

• 

  Получаем систему

  

  Эта система не имеет натуральных решений.

• 

  Получаем, что , что невозможно при натуральных и .

Разобрав все случаи, получили, что корнями уравнения могут быть только числа 6 и 8.

а) Заметим, что если взять набор различных чисел, где каждое либо простое, либо единица, то никакие два числа не будут иметь общего делителя, большего 1. Основываясь на этом замечании, можно построить пример:

б) Пусть сумма пяти чисел равна 23, то есть она нечётная. Тогда среди этих чисел будет нечётное количество нечётных и чётное количество чётных. Заметим, что среди этих пяти чисел чётным может быть максимум одно, иначе будут два числа, делящиеся на 2. Значит, чтобы получить сумму 23, можно использовать только нечётные числа. Посчитаем наименьшую возможную сумму пяти нечетных чисел:

Следовательно, получить сумму 23 из пяти различных чисел, описанных в условии, нельзя.

в) Заметим, что нечётную сумму, меньшую 25, составить нельзя, потому что рассуждение пункта б) работает для любого нечетного числа . Тогда посмотрим, какую минимальную чётную сумму можем получить.

Если сумма пяти чисел чётна, то среди этих пяти чисел будет чётное количество нечётных и нечётное количество чётных, причем по доказанному в пункте б) чётное число может быть максимум одно. Тогда минимальная чётная сумма, которую мы можем получить, равна сумме наименьших четырёх нечётных чисел и наименьшего чётного числа. То есть

— наименьшая возможная чётная сумма. При этом набор чисел

удовлетворяет условию задачи. Так как то 18 — наименьшее возможное значение, которое может принимать сумма пяти попарно взаимно простых чисел.

а) Стороны склада — целые числа, и его объем 120 делится на 3, поэтому есть сторона, длина которой кратна 3. Обозначим ее длину через м. Тогда выложим контейнеров с размерами м длинной стороной вдоль стены с длиной м. Длины остальных сторон склада делятся на длины других сторон контейнеров, так как любое целое число делится на 1. Тогда аналогичным образом продолжим выкладывать контейнеры и заполним такими операциями весь склад.

Значит, склад размером 120 кубометров точно можно заполнить данными контейнерами.

б) Попробуем построить пример. Для того чтобы не пришлось рассматривать много случаев, возьмем такой склад, в который можно поместить контейнеры только одним способом. То есть две стороны должны быть меньше 3. Если возьмем склад размером м, то сторона длины 3 м любого из уложенных контейнеров должна быть параллельна стороне длины 25 м склада. Мысленно разделим склад на четыре полосы размерами . В каждую из них можно поместить не больше 8 контейнеров. Возможно, некоторые контейнеры будут лежать в нескольких полосах одновременно. В любом случае максимальное количество уникальных контейнеров, которые можно разместить на складе , равно .

Значит, поместить 33 контейнера не удастся.

в) Рассмотрим склад размером м. Вдоль стен со сторонами 2 м не получится класть контейнеры стороной 3 м, значит, сторона 3 м у контейнеров будет лежать вдоль стены 200 м. То есть по соображениям из пункта б) на такой склад поместится максимум контейнера. Тогда останется свободным хотя бы

кубометров объема, то есть склада. Значит, более чем объема склада гарантированно заполнить не удастся.

Теперь докажем, что хотя бы объема при любой другой конфигурации склада заполнить получится. Пусть дан склад размером и сторона м. Тогда можем мысленно отделить часть склада со стороной 3 м и останется объем , а часть склада можно полностью заполнить контейнерами с помощью алгоритма из пункта а). Такую операцию можно делать с любой стороной склада, длина которой не меньше 3. Тогда будем продолжать отрезать части склада со стороной 3 м до тех пор, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими . Получили, что пустым будет максимум 8 кубометров из 800, то есть максимум .

Таким образом, хотя бы объема при любой конфигурации склада получится заполнить.

а) Если , то можем сделать , а потом снова домножить на 2 и получить . То есть мы научились строить последовательность из двух различных чисел (нечетные члены равны 196, а четные — 98). Чтобы получить последовательность из 5 различных чисел, достаточно лишь последние три числа сделать отличными от 98 и 196. По построению выше . Тогда следующие три члена можем получить домножением на 2 предыдущих: , и . Итого, в последовательности есть 5 различных чисел: 98, 196, 392, 784 и 1568.

б) По числу будем последовательно находить числа , и так далее. Каждый член последовательности либо вдвое больше, либо на 98 меньше предыдущего. Число нечётно. Поймем, что перед нечётным числом в последовательности могло стоять только нечётное. Числа в последовательности натуральные, поэтому рассмотрим два варианта:

• Пусть число чётно. Тогда следующее число либо , либо . Оба числа чётны. То есть после чётного числа всегда идет чётное. Значит, перед нечётным числом всегда стоит нечётное.
• Пусть нечётно. Тогда следующее число либо — чётное, либо — нечётное. Значит, перед нечётным числом может стоять только число на 98 больше, то есть тоже нечётное. Тогда если число нечётное, то перед ним может стоять только число , которое тоже нечётно. Следовательно, мы можем восстановить число .

Вернемся к нашей последовательности. Число нечётно. Тогда предыдущее число мы можем однозначно восстановить: . Аналогично мы можем однозначно восстановить все предыдущие члены последовательности, так как каждое из полученных чисел будет нечётно. То есть

в) Пусть — значение наибольшего члена последовательности. Заметим, что наибольший член последовательности больше 98, иначе из любого числа не было бы возможности вычитать 98 и получать натуральное число. То есть каждое следующее число получалось из предыдущего умножением на 2. Но в таком случае — явно больше 98.

Тогда будем перебирать возможные варианты наибольших чисел: 99, 100, 101 и так далее. От каждого рассматриваемого числа будем восстанавливать последовательность в обе стороны. Если получим последовательность, которую нельзя продолжить ни в одну сторону, и количество членов в ней будет меньше 400, то число, которое мы рассматривали, нам не подходит. При построении цепочки будем учитывать следующие особенности последовательности:

• После числа идет число , иначе не наибольшее.
• Перед числом стоит число вдвое меньше, если чётно. Если нечётно, то перед ним не может ничего стоять, иначе не наибольшее.
• Если число чётно и больше, чем , то слева может стоять только число вдвое меньше.
• Если число нечётно и больше , то слева ничего не может стоять.
• Если число меньше 98 и меньше , то справа стоит число вдвое больше.
• Если число меньше 98 и больше , то справа ничего не может стоять.

Начнём перебор:

• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то возможна только последовательность (или ее часть)

Все полученные последовательности нам не подходят, так как количество членов в них меньше 400. Значит, наибольшее число последовательности равно хотя бы 112. В этом случае можно составить последовательность, где наибольшее число действительно равно 112:

а) Пусть было два эксперта и они оценили 5 кинофильмов, тогда среднее геометрическое будет вычисляться с помощью квадратного корня. Тогда для каждого фильма произведение оценок экспертов должно быть квадратом натурального числа.

Заметим, что максимальное произведение двух различных чисел от 1 до 10 — это 90, значит, произведением оценок экспертов могут быть только квадраты чисел от 1 до 9.

Однако числа 1, 25, 49, 64 и 81 нельзя представить в виде произведения двух различных чисел от 1 до 10. Значит, всего целых оценок получится не больше 4, то есть два эксперта могли оценить максимум 4 кинофильма. Противоречие.

Значит, при двух экспертах не могло быть 5 кинофильмов.

б) Если могло быть три эксперта, то среднее геометрическое будет вычисляться с помощью корня третьей степени. Значит, степень вхождения каждого простого множителя в произведение трёх чисел должна быть кратна трём.

Множитель 5 входит только в числа 5 и 10 в степени 1, то есть количество 5 в произведении оценок экспертов может быть максимум 2. Значит, эти числа не будут участвовать в построении примера. По аналогичным причинам не подходит и число 7.

Мы хотим составить пример, в котором в произведение трех оценок множитель 2 входит в степени или 0, или 3, или 6, и множитель 3 входит в степени или 0, или 3. Получатся следующие тройки оценок:

Тогда рейтинги кинофильмов равны 2, 3, 4, 6 соответственно.

Значит, могло быть 3 эксперта и 4 кинофильма.

в) Докажем, что более 4 экспертов быть не может.

Разложим числа от 1 до 10 на простые множители:

Заметим, что каждый из простых множителей 3, 5 и 7 входит в разложение не более 4 раз суммарно во все числа от 1 до 10. Значит, если будет экспертов, то оценки, содержащие множители 3, 5 или 7 использоваться не могут, так как чтобы корень -й степени был целым, каждый из простых множителей должен входить в произведение хотя бы в -й степени.

Остается лишь четыре числа, которые могут быть оценками экспертов: 1, 2, 4, 8. Их всего четыре, то есть более четырёх экспертов быть не может.

Пусть будет 4 эксперта. Так как множитель 3 входит ровно в 4 степени в произведение чисел от 1 до 10, то чтобы извлечь целый корень четвертой степени, нужно либо использовать в произведении все числа, которые кратны 3, либо ни одно из них.

Построим пример, в котором используются оценки 3, 6 и 9.

Найдем четвертую оценку. В произведение двойка входит в степени 1. То есть чтобы извлечь корень четвертой степени, рассматриваемое произведение нужно домножить еще на . Получаем 4 эксперта с набором оценок , то есть рейтинг фильма равен 6.

Значит, максимум могло быть 4 эксперта для одного кинофильма.

Обозначим сумму всех чисел на красных карточках а сумму всех чисел на синих карточках Так как по условию среднее арифметическое всех чисел равно 16, то

После увеличения в два раза всех чисел на синих карточках их сумма тоже увеличилась в два раза, а среднее арифметическое стало равно 31,2, то есть

а) Если синих карточек 10, то красных

Так как на всех карточках написаны натуральные числа, то каждое число равно минимум 1. В таком случае сумма чисел на красных карточках ровно 40, поэтому на всех красных карточках написано 1. Иначе если увеличим хотя бы одно число, то сумма будет больше 40. Значит, теперь нужно понять, какие числа могли быть записаны на синих карточках. Заметим, что их сумма равна

Тогда можно взять 5 пар чисел, равноудаленных от числа 76, чтобы все числа были разные и сумма оставалась равной 760. Получается пример:

Здесь все числа различные и больше 1, то есть любого из чисел на красных карточках.

б) Если красных карточек 10, то синих

Заметим, что если числа на всех красных карточках не больше 3, то сумма равна максимум но — противоречие. Значит, есть красная карточка с числом 4 или больше, значит, числа на синих карточках не меньше 5. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках. Для этого вспомним формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: если — первый член и — разность прогрессии, то

Тогда первый член прогрессии равен 5 и каждый следующий увеличивается минимум на 1, а всего их 40:

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть 10 красных карточек быть не могло.

в) Докажем, что 36 и больше синих карточек быть не может. В этом случае красных карточек не больше 14, тогда наибольшее число на них не менее 3, иначе сумма будет равна максимум

Значит, числа на синих карточках не меньше 4. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках, если чисел хотя бы 36:

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть не могло быть 36 и более синих.

Теперь достаточно привести пример на 35 синих карточек.

Красные карточки: пять чисел 2 и десять чисел 3 с суммой

Синие карточки: 34 последовательных числа от 4 до 37 с суммой 697 и последнее число равно

Получили, что все числа различные и больше чисел на красных карточках.

Значит, максимум могло быть 35 синих карточек.

а) В условии требуется получить 0 в итоговом произведении. Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю. Каждый множитель — сумма чисел в вершинах одного из треугольников. Значит, если произведение равно 0, то и одна из сумм равна 0.

Пусть нашелся треугольник, сумма чисел в вершинах которого равна 0. Если сумма чисел в вершинах треугольника равна 0, то в вершинах должно быть хотя бы одно отрицательное и одно положительное число, так как среди чисел у нас нет 0.

Минимальное положительное число из нашего набора равно 8. Тогда и сумма отрицательных чисел по модулю должна быть хотя бы 8. Среди чисел набора два самых больших по модулю отрицательных числа — это -4 и -3 с суммой, равной -7. Получили противоречие.

Значит, сумма чисел в вершинах треугольника не могла равняться 0, а следовательно, и произведение таких сумм не могло равнятся 0.

б) Пусть произведение трех сумм могло равнятся 270. Рассмотрим, какая наибольшая сумма чисел в трех вершинах могла получиться. Тогда для трех наибольших чисел получаем наибольшую возможную сумму:

Посмотрим, как можно разложить на множители 270, если наибольший из них не превосходит 33. Наибольшее число, не превосходящее 33, на которое делится 270, равно 30. Тогда произведение двух оставшихся множителей равно 9.

Рассмотрим, как могла получится сумма 30:

Тогда остались числа

Нам нужно получить из них две суммы, произведение которых будет равно 9. Общая сумма оставшихся чисел равна 10. Тогда двумя множителями могут быть суммы

Следовательно, произведение сумм чисел в вершинах треугольника может быть равно 270, если в вершинах первого треугольника написаны числа , в вершинах второго — числа , в вершинах третьего — числа

в) По условию нам нужно получить наименьшее возможное произведение двух сумм. Мы можем получить отрицательное произведение, если одна из сумм будет положительной, а вторая отрицательной. Значит, нам нужно найти наибольшее по модулю отрицательное произведение.

Посмотрим, какое наибольшее по модулю значение может принимать отрицательная сумма. Для этого нужно взять три наибольших по модулю отрицательных числа из всего набора:

Посмотрим, какое наибольшее значение может принимать положительная сумма. Для этого нужно взять три наибольших положительных числа из всего набора:

Заметим, что все взятые шесть чисел различны, значит, наибольшее по модулю отрицательное произведение равно произведению наименьшего возможного отрицательного и наибольшего возможного положительного множителей, то есть

Введем следующие обозначения: — количество овощей с массой меньше 1000 г, — количество овощей с массой ровно 1000 г, — количество овощей с массой больше 1000 г. По условию общее число овощей равно

Обозначим суммарную массу всех овощей По условию средняя масса всех овощей равна 1000 г, то есть

Аналогично суммарная масса овощей, которые весят меньше 1000 г, равна овощей, которые весят больше 1000 г — овощей, которые весят 1000 г — причем Тогда имеет место равенство:

а) Допустим, такое возможно. Тогда причем Получаем противоречие, так как и не могут равняться нулю.

б) Допустим, такое возможно. Тогда

Подставим это в условие

Так как 156 не делится на 7, то такого целого не существует, получили противоречие.

в) Пусть — масса наименьшего овоща, очевидно, что этот овощ находится в группе меньших 1000. Максимальный возможный вес овощей в этой группе, при том, что один овощ весит равен Чтобы пример существовал, эта верхняя граница должна быть не меньше, чем заданная в условии сумма масс овощей в этой группе — Это необходимое условие, его выполнение не гарантирует существование примера, однако его невыполнение гарантирует, что примера нет. Тогда имеем:

Минимальное допустимое достигается при максимальном допустимом Мы уже знаем, что из этого следует, что делится на 4. Обозначим тогда Получаем оценку:

При минимальное возможное Пример: один овощ массы 387, 35 овощей массы 999, 2 овоща массы 1000, 27 овощей массы 1024.