Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1312Максимум баллов за задание: 4

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее среднее арифметическое всех чисел.

Показать ответ и решение

а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), то, как правило, работает классическая идея минимальной суммы.

Предположим, что наименьшее число равно 3. Тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна

3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8= 33

Тогда наименьшее среднее арифметическое шести наименьших чисел равно $33 > 5. 6$

Мы взяли шесть самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 3. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое шести любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 3, будет больше 5.

Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 3.

б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел

a1,a2,...,a10

Тогда по условию имеем:

(a1+ a2+ ⋅⋅⋅+ a6):6= 5 ⇒ a1+ ⋅⋅⋅+a6 = 30 (a5+ a6+ ...a10) :6= 15 ⇒ a5+ a6+ ...a10 = 90

Отсюда получаем

a1+a2 +⋅⋅⋅+ a10+ (a5+ a6) =120

Наименьшее возможное значение $a5$ — это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение $a6$ — это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма равна

a1+ ⋅⋅⋅+ a10 = 120− (5 +6)= 109

Значит, наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно

109:10 =10,9< 11

Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.

в) В предыдущем пункте мы сказали, что

a1+a2 +⋅⋅⋅+ a10 = 120− (a5+ a6)

Следовательно, для того, чтобы найти наибольшую возможную сумму всех чисел, нужно найти наименьшую возможную сумму $a5+ a6.$

Ранее мы доказали, что минимальная сумма $a5+ a6 = 11.$ Заметим, что, учитывая условие, что сумма наименьших шести чисел равна 30, такая ситуация невозможна: наибольшее возможное $a5$ тогда равно 5, значит, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

1+ 2+ 3+ 4= 10

Отсюда мы получаем, что наибольшая сумма первых шести чисел равна

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6< 30

Рассмотрим следующие случаи.

1) Пусть $a5 +a6 =12.$ Тогда

a1+ a2+ a3+ a4 = 18

Тогда наибольшее возможное значение для $a5$ — это 5. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

1+ 2+ 3+ 4< 18

Следовательно, такой случай невозможен.

2) Пусть $a5 +a6 =13.$ Тогда

a1+ a2+ a3+ a4 = 17

Тогда наибольшее возможное значение для $a5$ — это 6. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

2+ 3+ 4+ 5< 17

Следовательно, такой случай невозможен.

3) Пусть $a5 +a6 =14.$ Тогда

a1+ a2+ a3+ a4 = 16

2+ 3+ 4+ 5< 16

Следовательно, такой случай невозможен.

4) Пусть $a5 +a6 =15.$ Тогда

a1+ a2+ a3+ a4 = 15

Тогда наибольшее возможное значение для $a5$ — это 7. Следовательно, наибольшая возможная сумма первых четырех чисел равна

3+ 4+ 5+ 6= 18

Это не меньше 15, следовательно, противоречия мы не получили. Попробуем построить пример.

Возьмем $a5 = 7,a6 = 8.$ Возьмем также

a1 = 2,a2 = 3,a3 = 4,a4 = 6

Тогда действительно

a1+ ⋅⋅⋅+ a6 = 2+ 3+ 4+ 6+ 7+ 8= 30

Подберем последние четыре числа:

a7 = 9,a8 = 10,a9 = 11,a10 = 45

Тогда действительно

a5 +⋅⋅⋅+ a10 =90

Пример приведен, следовательно, наибольшая возможная сумма десяти чисел равна $120− 15= 105.$ Тогда наибольшее среднее арифметическое всех чисел равно 10,5.

Ответ:

а) Нет

б) Нет

в) 10,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#21796Максимум баллов за задание: 4

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Источники: ЕГЭ 2018

Показать ответ и решение

Число делится на 72 тогда и только тогда, когда оно делится и на 8, и на 9.

Признак делимости на 8: число $A$ делится на 8 тогда и только тогда, когда число, составленное из трёх последних цифр числа $A,$ делится на 8.

Признак делимости на 9: число $A$ делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа $A$ делится на 9.

а) Мы хотим добиться, чтобы после вычеркивания нескольких цифр из числа 123456789 получилось число, делящееся на 72, то есть делящееся и на 8, и на 9. Воспользуемся признаком делимости на 8.

Сейчас три последние цифры образуют число 789. Оно нечётно, поэтому не может делиться на 8. Значит, нам в любом случае придется вычеркнуть последнюю цифру 9. После этого последние три цифры будут образовывать число $678 = 84 ⋅8+ 6,$ которое не делится на 8.

Значит, придется вычеркнуть одну из цифр 6, 7 или 8. Если мы вычеркнем 8, то число станет нечетным. Тогда попробуем вычеркнуть 7. После этого последние три цифры будут образовывать число $568= 71⋅8,$ которое делится на 8.

У нас осталось число 1234568, оно не делится на 9, так как сумма его цифр 29 не делится на 9. Значит, нам нужно вычеркнуть из этого числа цифры так, чтобы сумма оставшихся была кратна 9, а последние три цифры остались нетронутыми. Так можно сделать, если вычеркнуть цифру 2. Тогда мы получим число

134568= 72⋅1869

Рассуждения выше не нужно писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

б) Аналогично предыдущим рассуждениям, чтобы после вычёркивания нескольких цифр число 846927531 делилось на 72, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Тогда мы обязаны вычеркнуть цифры 7531.

Итак, у нас осталось число 84692, сумма его цифр равна 29. После вычёркивания нескольких цифр оно должно начать делиться на 9, то есть сумма оставшихся цифр должна равняться либо 9, либо 18, либо 27. Рассмотрим три этих варианта:

Если сумма оставшихся цифр равна 9, то, так как 9 — это единственная нечётная цифра в числе 84692, осталась именно она, то есть вычеркнули цифры 8, 4, 6 и 2. Очевидно, что 9 не делится на 72.
Если сумма оставшихся цифр равна 18, то мы вычеркнули цифры, сумма которых равна 11. Так как 9 — это единственная нечётная цифра в числе 84692, 11 мы могли получить только как сумму 9 и 2. Тогда осталось число 846. Оно не делится на 8, значит, не делится и на 72.
Если сумма оставшихся цифр равна 27, то могли вычеркнуть только цифру 2. Тогда осталось число 8469. Оно нечётно, значит, не делится на 72.

Значит, из числа 846927531 нельзя вычеркнуть несколько цифр так, чтобы получилось число, кратное 72.

в) Всего в числе 124875963 девять различных цифр, ни одна из которых не равна 0. После вычёркивания нескольких из них должно остаться число, которое делится на 72. Это значит, что должно остаться хотя бы 2 цифры.

При этом если осталось ровно две цифры, то они обязаны образовывать число 72, то есть после вычёркивания должны остаться цифры 2 и 7. Однако в таком случае они будут образовывать число 27, значит, невычеркнутыми должны остаться хотя бы три цифры.

Рассмотрим все кратные 72 трехзначные числа, все цифры которых различны и ни одна из них не равна 0. Таких чисел всего 6:

216,432,576,648,792,864,936

Ни одно из них нельзя получить вычёркиванием цифр из числа 124875963, в этом легко убедиться, проверив, в каком порядке цифры перечисленных трехзначных чисел входят в исходное число 124875963. Значит, остались невычеркнутыми хотя бы четыре цифры, то есть можно вычеркнуть максимум 5 цифр.

Построим пример на 5 вычеркнутых цифр. Чтобы число делилось 72, его последняя цифра должна быть чётной, тогда нужно вычеркнуть 3. Затем вычеркнем цифры 5 и 7, полученное число 124896 по признаку делится на 8 (896 делится на 8). Сумма его цифр равна 30. Вычеркнем цифры 1 и 2, полученное число 4896 по признаку делится на 9 (сумма его цифр 27).

Тогда из числа 124875963 можно вычеркнуть 5 цифр 1, 2, 3, 5, 7 и получить число

4896= 72⋅68

Выше было доказано, что большее количество цифр вычеркнуть нельзя.

Ответ:

а) Да, можно

б) Нет, нельзя

в) 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2

Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение пункта a; – обоснованное решение пункта б; – искомая оценка в пункта в; – пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#21797Максимум баллов за задание: 4

За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта? Считайте, что максимальный заряд планшета достаточно большой.

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

Источники: ЕГЭ 2018

Показать ответ и решение

а) Заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды, то есть при прохождении уровня на любое количество звёзд заряд аккумулятора уменьшается на число пунктов, кратное 3.

Тогда после прохождения Витей нескольких уровней заряд аккумулятора тоже уменьшился на число пунктов, кратное 3. Однако 32 не делится на 3, следовательно, заряд аккумулятора не мог уменьшиться ровно на 32 пункта.

б) Пусть Витя прошёл $a$ уровней на три звезды, $b$ уровней на две звезды и $c$ уровней — на одну. Тогда всего он прошел $a +b+ c$ уровней, получил за них $3a+ 2b+ c= 17$ звезд, а заряд аккумулятора за это время уменьшился на $3a+ 6b+ 9c = 33$ пунктов. Тогда имеем систему:

( ( {3a +2b+ c= 17 { 3a+ 2b +c = 17 (3a +6b+ 9c= 33 ⇔ ( a+ 2b+ 3c = 11 ⇒ 4a +4b +4c= 28 ⇔ a +b +c =7

Значит, Витя прошел $a+ b+ c= 7$ уровней.

в) Из двух уравнений, полученных в предыдущем пункте, можно составить следующую систему:

({ a+ b+ c= 7 ⇒ b+ 2c= 4 ( a+ 2b+ 3c= 11

Заметим, что количества уровней, пройденных на одну, две или три звезды — неотрицательные целые числа. Тогда $c$ может равняться только 0, 1 или 2. Рассмотрим три этих варианта:

Если $c= 0,$ то $b= 4,$ $a= 3.$
Тогда Витя получил $9000a + 5000b+ 2000c= 27000+ 20000+ 0= 47000$ очков.
Если $c= 1,$ то $b= 2,$ $a= 4.$
Тогда Витя получил $9000a + 5000b+ 2000c= 36000+ 10000+ 2000 = 48000$ очков.
Если $c= 2,$ то $b= 0,$ $a= 5.$
Тогда Витя получил $9000a + 5000b+ 2000c= 45000+ 0+ 4000= 49000$ очков.

Значит, Витя мог получить максимум $49000$ очков.

Ответ:

а) Нет

б) 7

в) 49000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — пример в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1284Максимум баллов за задание: 4

Пусть $q$ — наименьшее общее кратное, а $d$ — наибольший общий делитель натуральных чисел $x$ и $y,$ удовлетворяющих равенству $7x= 16y− 73.$

а) Может ли $qd$ быть равным 204?

б) Может ли $qd$ быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение $qd.$

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018

Показать ответ и решение

а) Предположим, что существуют такие $x,y,$ что $q :d =204.$

Рассмотрим самый простой случай, когда $d= 1,$ то есть числа взаимно просты. Тогда $q = 204.$

Так как $q⋅d =x ⋅y,$ то получаем $xy = 204.$ Заметим, что

2 204= 2 ⋅3⋅17

Следовательно, нужно составить из множителей $2,2,3,17$ такие числа $x$ и $y,$ чтобы их НОД был равен 1, и они удовлетворяли уравнению

7x = 16y − 73

Перебором убеждаемся, что подходят $x = 17$ и $y = 12.$

б) Выпишем решения уравнения $7x= 16y− 73$ в натуральных числах. Выразим $x:$

16y-− 73 2y−-3 x= 7 = 2y− 10+ 7

Для того, чтобы $x$ было натуральным, число $2y−-3 7$ должно быть целым. Это возможно только тогда, когда $2y− 3$ делится без остатка на 7.

Все возможные остатки при делении $y$ на 7 — это $0,1,2,3,4,5,6.$ Заметим, что нам подходит только случай, когда $y$ при делении на 7 дает остаток 5, то есть $y = 7k + 5,$ $k ≥ 0.$ Тогда имеем:

x = 2(7k+ 5)− 10+ 2(7k-+-5)-− 3-= 16k+ 1 7

Таким образом, решением уравнения $7x= 16y− 73$ при $k ≥ 0$ будут

x= 16k+ 1, y = 7k +5

Предположим, что существуют такие $x,y,$ что $q :d= 2.$ Рассмотрим несколько случаев.

1) Если $d= 1,$ то $q = 2,$ Следовательно, аналогично пункту а) $2= q =xy.$ Заметим, что так как $k ≥ 0,$ то

xy ≥ (0+ 1)(0+ 5)= 5

Следовательно, $q$ не может быть равным 2. Получили противоречие.

2) Пусть $d > 1.$ Следовательно, можно записать $x= ds,$ $y = dr,$ где $s,r$ — натуральные. Тогда уравнение $7x= 16y− 73$ перепишется как

d(16r− 7s)= 73

Тогда, так как $d,r,s$ — натуральные числа, то 73 должно делиться на $d.$ Но 73 — простое число и делится только на 1 или на 73. Следовательно, $d =73.$ Тогда имеем:

16r− 7s= 1

Полученное уравнение также можно решить в натуральных числах и при $p≥ 0$ получить решения

r = 7p+ 4, s= 16p+ 9

Следовательно, при $p≥ 0$ получаем

x = 73(16p+ 9), y = 73(7p+ 4)

Тогда справедлива оценка

xy ≥ 73(0+ 9)⋅73(0 + 4) =732⋅9 ⋅4

С другой стороны,

xy = qd = q⋅d2 = 2⋅732 d

Следовательно, также получили противоречие.

в) Заметим, что в пункте б) мы доказали, что существует лишь два варианта, чему может быть равно $d:$ либо 1, либо 73.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $d= 1,$ то $xy ≥ 5.$ Значит,

q :d = q = xy ≥ 5

То есть минимальное значение для $q :d = 5.$

2) Если $d= 73,$ то $xy ≥732⋅9 ⋅4.$ Значит,

2 2 2 q :d =xy :d ≥ 73 ⋅9⋅4:73 = 36

То есть минимальное значение для $q :d$ равно 36.

Таким образом, мы видим, что минимально возможное значение для $q :d$ равно 5.

Приведем пример. Этот минимум мы получили из случая, когда $d =1$ и при $k =0$

x= 16k+ 1, y = 7k +5

Следовательно, пример: $x= 1,y = 5.$

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), либо обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и в)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пукнты а) и в) не решены	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в), пукнты а) и б) не решены

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), пукнты б) и в) не решены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4