Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2012

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18501Максимум баллов за задание: 4

Каждое из чисел $1, −2, − 3, 4, − 5, 7, − 8, 9, 10, − 11$ по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел $1, −2, −3, 4, − 5, 7, −8, 9, 10, −11.$ После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Источники: ЕГЭ 2012

Показать ответ и решение

а) Чтобы в результате перемножения сумм получился 0, один из множителей должен быть равен 0, то есть сумма двух чисел на карточке должна равняться 0. Но для этого у нас в изначальном наборе должны быть два числа, противоположные по знаку. Таких чисел нет, значит, произведение сумм не могло равняться 0.

б) Чтобы в результате перемножения сумм получилась 1, все делители должны равняться 1 или -1. То есть числа на каждой карточке должны отличаться по модулю на 1, при этом они должны быть противоположны по знаку.

Тогда в пару к -11 подходит только 10. Аналогично для -11 на обратной стороне, значит, числа -11 и 10 мы больше не можем использовать на других карточках.

В пару к 9 подходит только -8. Аналогично для 9 на обратной стороне, то есть числа 9 и -8 мы использовали уже по два раза. Но тогда в пару к 7 мы не можем поставить ни одно число, так как в нашем наборе отсутствует число -6. Значит, произведение сумм не может равняться 1.

Здесь показано, как можно решить данный пункт методом перебора, в пункте в) доказано, почему произведение сумм не может равняться нечетному числу.

в) Заметим, что изначально нам дан набор из 4 четных и 6 нечетных чисел. Это значит, что не получится написать числа на карточках так, чтобы все суммы были нечетными, так как для получения нечетной суммы нужно сложить четное число и нечетное, а их у нас неравное количество. Значит, хотя бы один множитель будет четным, следовательно, все произведение сумм будет четным. Значит, оно не может равняться никакому нечетному числу.

В пункте а) мы доказали, что произведение сумм не может равняться 0. По рассуждению выше оно не может равняться 1. Посмотрим, может ли произведение сумм равняться 2.

Заметим, что 2 можно получить, только перемножая $± 2$ и $± 1,$ так как 2 — простое число. Всего мы перемножаем десять сумм, значит, ровно одна из них должна быть четной, то есть равняться $± 2,$ а остальные 9 должны быть нечетными. Сумма на карточке может быть нечетным числом только тогда, когда с одной стороны написано четное число, а с другой — нечетное. Всего на карточках записано 8 четных чисел, следовательно, нечетных сумм может быть не больше 8. Противоречие. Значит, произведение сумм не может равняться 2. Также оно не может равняться 3, так как это нечетное число.

На 4 есть пример, который можно построить с помощью предыдущих рассуждений:

(1;−2), (−2;1), (4;−3), (− 3;4), (7;− 5), (−5;7), (9;−8), (−8;9), (10;−11), (− 11;10)

Первое число в скобках является числом на передней стороне, а второе — числом на обратной стороне карточки.

Проверим произведение:

(1− 2)(− 2+ 1)(4− 3)(− 3+ 4)(7− 5)(− 5+ 7)(9− 8)(−8 +9)(10− 11)(−11+ 10)= 4

Значит, наименьший целый неотрицательный результат, который может получиться, равен 4.

Ответ:

а) Нет, не может

б) Нет, не может

в) 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18610Максимум баллов за задание: 4

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Источники: ЕГЭ 2012

Показать ответ и решение

Обозначим суммы в группах через $S1, S2, S3, S4$ , а сумму полученных модулей из условия обозначим как $S.$

Пусть, не умаляя общности, $S1 ≥ S2 ≥ S3 ≥ S4.$ Тогда из упорядочивания модули раскрываются однозначно и имеем сумму:

S = |S1− S2|+|S1− S3|+|S1− S4|+|S2− S3|+|S2− S4|+|S3− S4|=

= 3 ⋅S1 +S2 − S3− 3⋅S4

а) Имеем $S =3 ⋅(S1 − S4)+ (S2− S3).$

Заметим, что

S1 ≥ S4, S2 ≥S3, ⇒ S1− S4 ≥ 0, S2 − S3 ≥ 0

Нетрудно понять, что $S = 0$ достигается только при $S1 =S4$ и $S2 = S3,$ следовательно $S1 = S2 =S3 = S4.$

Сумма всех данных чисел равна 78, а значит, сумма чисел в каждой группе равна $78-, 4$ но это число нецелое, а сумма в каждой группе должна быть целой — противоречие. То есть 0 в результате получиться не мог.

б) Имеем $S =3 ⋅(S1 − S4)+ (S2− S3).$

Заметим, что оба слагаемых в скобках неотрицательны, а первое слагаемое кратно 3, значит, $S1− S4 =0,$ иначе $S$ будем минимум 3, а мы хотим 1. Но из того, что $S1 = S4,$ следует $S1 = S2 = S3 =S4.$ По пункту а) такое невозможно. То есть число 1 в результате получиться не могло.

в) По предыдущим пунктам понятно, что $S$ равно хотя бы 3. Тогда попробуем найти пример для $S =3.$ Поскольку $S1 =S4$ невозможно, то $S1 = S4 +1,$ так как рассматриваем вариант $S = 3.$ Тогда $S2 = S3,$ иначе сумма будет больше чем 3.