Тема . Тригонометрия

Системы в тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127151

Найдите все $x,y$ на интервале $(0,π), 2$ удовлетворяющие системе уравнений

({ -1--- --1- cos3x + sin3y = 16; ( tg2x+ ctg2y = 6.

Показать ответ и решение

Преобразуем слагаемые во втором уравнении:

2 sin2x- 1-− cos2x --1-- tg x = cos2x = cos2x = cos2x − 1

cos2y 1− sin2y 1 ctg2y = sin2y-=-sin2y--= sin2y − 1

Сделаем замену переменных: $a= -1--≥ 1,b= -1--≥ 1: cosx siny$

{ a3 +b3 = 16 a2 +b2 = 8

{ (a+ b)(a2− ab+ b2)=(a+ b)(8+ ab)= 16 a2 +b2 = (a +b)2− 2ab= 8

Пусть $u= a+b ≥2,v =ab ≥1,$ получаем систему уравнений:

{ u(8− v)= 16 u2− 2v = 8

Подставим в первое уравнение $u2− 8 v =--2--$ , получим уравнение относительно $u:$

u(24− u2)= 32

u3− 24u +32= 0

2 (u − 4)(u + 4u− 8)=0

⌊ u= 4 |⌈ u= −2+ 2√3 u= −2− 2√3

Так как $u= −2 +2√3 <2$ и $u =− 2− 2√3 < 2,$ получаем $u= v = 4.$

{ a+ b=4 ab=4

{ b =4 − a a2− 4a+ 4= 0

a= b= 2

1 cosx= siny =2

Учитывая, что $( π) x,y ∈ 0;2 ,$ получаем $π x= 3 ,$ $π y = 6.$

Ответ:

$(π;π) 3 6$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse