Тема . Тригонометрия

Системы в тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76629

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате ${(x;y):0≤x ≤2π,0≤ y ≤ 2π}$ удовлетворяют системе уравнений

{ sin x+siny = sin1 cosx +cosy = cos1

Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Умножаем первое уравнение на $cos1,$ второе — на $sin 1$ и вычитаем результаты:

(sinx+ siny)cos1− (cosx+ cosy)sin1 =0

(sinx cos1− cosxsin 1)+ (sinycos1 − cosysin1)= 0

sin(x− 1)+ sin(y− 1)= 0

sin(x− 1)= sin(1− y)

[ x− 1= 1− y+2πk x− 1= π− 1+ y+2πm

Умножаем первое уравнение на $sin1,$ второе — на $cos1$ и складываем результаты:

(sinx+ siny)sin1+ (cosx+ cosy)cos1 =1

(cosxcos1+ sinxsin 1)+ (cosycos1+sinysin1)= 1

cos(x− 1)+ cos(y− 1) =1

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

⌊ y = π+ 1+ 2πs 2cos(y− 1)= 1⇒ cos(y− 1) =cosπ ⇒ |⌈ 3 3 y = 1− π+ 2πl 3

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только $y1 = π + 1, 3$ из второй серии — только $y2 =1 + 5π . 3$ Им соответствуют серия $x1 = 2− y1+2πk,$ содержащая единственное значение $5π x1 = 1+ 3 ,$ и серия $5π- x2 = 2− y2+ 2πk ⇒ x2 = 1− 3 + 2πl$ также содержащая единственное значение $π x2 = 1+ 3.$

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

{ cos(x− 2)= − cos(y− 2) ⇒ 0= 1 cos(x− 2)+cos(y− 2)= 1

Ответ:

$2;(1+ 5π,1+ π),(1 + π ,1+ 5π) 3 3 3 3$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Системы в тригонометрии

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ