Системы в тригонометрии

Подсказка 1

Удобно ли нам рассматривать все пары (x,y), где оба числа действительные? Или же можно как-то ограничить это множество аргументов? Конечно, можно, ведь tg и sin — периодические функции. На каком тогда промежутке было бы удобно рассматривать наши функции и что тогда будет давать некоторая пара (x₀, y₀), которая является решением на нём?

Подсказка 2

Понятно, что удобно было бы рассматривать это на промежутке [-π/2, π/2], так как это и есть период tg и sin. При этом, решение на таком промежутке дает множество решений вида (x₀+πn, y₀+πm). Что делать дальше? Может быть, ещё ограничить множество, на котором мы рассматриваем, с учётом того, как выглядит система? У нас ведь слева выражение ≥ 1.

Подсказка 3

Так как слева у нас выражение ≥ 1, то tg(x) ≥ 1, а значит мы можем рассматривать выражение на [π/4, π/2]. Что на этом промежутке можно сказать про функции sin(x) и tg(x)? А что нам это может дать? Как мы преобразуем систему, чтобы использовать это знание о функциях на новом промежутке?

Подсказка 4

Эти функции — строго возрастающие на данном промежутке, а значит, если мы сложим оба равенства, то получим, что f(x) = f(y), где f(x) = sin(x)+tg(x), при этом в силу строгого возрастания, x = y (в рамках этого промежутка). Значит, наша система свелась к тому, чтобы найти решение уравнения sin(x)+1 = tg(x) ⇔ sin(x)*cos(x) = sin(x)-cos(x). Заметим, что выражения sin(x)-cos(x) и sin(x)*cos(x) связаны очень хорошими преобразованиями из одного в другое и выражаются друг через друга крайне понятно. Выразите и решите!

Подсказка 5

Если sin(x)-cos(x) = t, то t² = 1-2sin(x)*cos(x) = 1-2t. Остается найти t, приравнять это значение к sinx - cosx, а потом найти x, а значит и y. Но вот вопрос - какое тогда множество решений у нас будет?