Системы с логарифмами

Из условия следует, что функции положительны и не принимают значения при всех из области допустимых значений. Пусть . Тогда

По условию числа удовлетворяют одному из трёх условий:

Рассмотрим случай . Подставляя и в полученное выше уравнение , имеем , откуда . Так как многочлен не имеет корней, то единственным решением уравнения является , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел . Случаи и рассматриваются аналогично с точностью до смены обозначений (выражение симметрично). Из них получаем, что либо , либо . Теперь для каждой из полученных троек чисел найдём .

Если , то , то есть . Поэтому , то есть значений , при которых , не существует.

Если , то . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение , которое не имеет корней, поэтому случай также не подходит.

Если , то . Это уравнение эквивалентно уравнению , корнями которого являются и , но не подходит, так как в этом случае . Значение подходит: .

Итак, — единственное решение задачи.

при решении перемножением логарифмов: показано, что произведение всех логарифмов равно целому числу – 1 балл;

получено и решено кубическое уравнение относительно одного из логарифмов – 1 балл;

за рассмотрение каждого из случаев – по 1 баллу;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.

при решении рассмотрением трёх случаев равенств логарифмов: разобран 1 случай – 1 балл,

разобраны 2 случая – 3 балла,

разобраны 3 случая – 5 баллов;

если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.