Системы с логарифмами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему
Источники:
Подсказка 1
Что сразу видно на счет этой системы? Что она симметрична, а также что в каждом уравнении используется только 2 переменных. То есть мы можем ввести функции f и g так, чтобы у нас получилось равенство вида g(y) = f(x), g(z) = f(y), g(x) = f(z). Зачем нам так делать? Потому что мы можем эти функции исследовать и что-то понять про них.
Подсказка 2
Возьмем f(x) = x/sqrt(x^2 - 2x + 4). g(x) = log_2(4 - t). Ого, но ведь производная f на всей области определения больше нуля! Это дает нам возможность перехода вида f(a) > f(b) <=> a > b. Аналогично можно сказать и про g, только на счет убывания. Тогда, идейно, остается найти какое-то одно решение системы и доказать, что других нет.
Подсказка 3
Подходит решение (2, 2, 2). Теперь можно предположить, что наша система имеет другое решение, то есть хотя бы 1 переменная не равна 2. Пусть тогда x < 2. Если у нас есть это неравенство и неравенство из 2-ой подсказки, то как нам прийти к противоречию (показать, что тогда х > 2)?
Введём в рассмотрение функции
Под радикалами находятся заведомо положительные выражения 
поэтому на них можно поделить, а система
примет такой вид:
Область определения системы задаётся тем, что каждая переменная меньше 4.
На этой области определения функция 
монотонно убывает, а функция 
имеет положительную производную:
поэтому является монотонно возрастающей.
Далее существует два способа решения:
Первое решение.
Заметим, что 
является решением системы. Покажем, что других решений нет.
Действительно, пусть 
Но тогда
сразу же получаем противоречие. Ясно, что случай 
рассматривается полностью аналогично.
Второе решение.
В силу обратимости функции 
получается явно выразить любую из переменных, причём выражаются они одинаково в силу
цикличности системы:
где функция 
монотонно убывает по правилам монотонности сложной функции.
Тогда в правой части уравнения функция 
монотонно убывает, а в левой части уравнения функция 
, очевидно,
монотонно возрастает. Поэтому равенство 
возможно не более, чем в одной точке. И при 
оно как раз достигается. Всё
проделанное справедливо и для оставшихся двух переменных.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
