Системы с логарифмами

Введём в рассмотрение функции

Под радикалами находятся заведомо положительные выражения поэтому на них можно поделить, а система примет такой вид:

Область определения системы задаётся тем, что каждая переменная меньше 4.

На этой области определения функция монотонно убывает, а функция имеет положительную производную:

поэтому является монотонно возрастающей.

Далее существует два способа решения:

Первое решение.

Заметим, что является решением системы. Покажем, что других решений нет.

Действительно, пусть Но тогда

сразу же получаем противоречие. Ясно, что случай рассматривается полностью аналогично.

Второе решение.

В силу обратимости функции получается явно выразить любую из переменных, причём выражаются они одинаково в силу цикличности системы:

где функция монотонно убывает по правилам монотонности сложной функции.

Тогда в правой части уравнения функция монотонно убывает, а в левой части уравнения функция , очевидно, монотонно возрастает. Поэтому равенство возможно не более, чем в одной точке. И при оно как раз достигается. Всё проделанное справедливо и для оставшихся двух переменных.