Системы неравенств

Пусть . В силу того, что выпукла вниз, а - линейная, графики функций и могут иметь не более двух общих точек (достаточно взять вторую производную разности). Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно, и . На промежутке график лежит ниже графика . Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке графики функций и лежат выше оси . Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке , вычтем количество целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком на отрезке . При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.

Найдём . Так как на отрезке лежат целочисленные точки, то

Найдём

Искомое количество равно