Теория чисел на ДВИ

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Условие о равенстве трех чисел эквивалентно выполнению следующей системы:

Переносим в каждом уравнении правую часть влево и раскладываем на множители:

Тогда возможны случая:

1.

и В этом случае, если то остается выбрать значение ( способа), если то ( способа) и ( способ), то есть всего способов;

2.

и В этом случае имеем Тогда поэтому С другой стороны, поэтому Тогда или и и равны или Если то и и этот случай мы учли выше. Если же то тут всего два случая: и или Таким образом, имеем варианта;

3.

и Этот случай симметричен предыдущему, но в нем возможны только случаи (который нас не интересует, так как — наибольшее число) и и в которых что тоже нас не интересует;

4.

и Сложим два этих равенства и получим, что что невозможно, поскольку

Таким образом, получаем упорядоченных четверок.