15.05 Отрезки

Решение аналитикой

Формула имеет вид импликации, которая будет истинной в следующих случаях:

1. Если ложно (то есть ), тогда формула истинна независимо от значений в и .

2. Если истинно (то есть ), то необходимо, чтобы было истинным.

Таким образом, для того чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы все значения, которые не принадлежат промежутку , также не принадлежали ни одному из отрезков и .

Даны два отрезка:

-

-

Чтобы формула была тождественно истинной, необходимо, чтобы промежуток содержал все значения из обоих отрезков и . Это значит, что:

Теперь найдем наименьшую длину промежутка . Длина каждого из отрезков:

1. Длина отрезка

2. Длина отрезка

Общая длина промежутка:

Однако для того чтобы формула была тождественно истинной при любых значениях переменной , нам нужно выбрать такой промежуток, который будет минимально перекрывать оба отрезка.

Наименьшая длина промежутка может быть достигнута путем выбора:

Длина этого промежутка:

Решение программой

def f(x, P, Q, A):
    return ((not inn(x, A)) <= ((not inn(x, P)) and (not inn(x, Q))))

def inn(x, F):
    return (F[0] <= x <= F[1])

P = [0, 10]
Q = [25, 50]
k = 3
ans = []
ans_len = 100000000000000000000000
for start in range(60 * k):
    for finish in range(start, 60 * k):
        met_false = False
        A = [start / k, finish / k]
        for x in range(60 * k):
            if not f(x / k, P, Q, A):
                met_false = True
                break
        if not met_false:
            A[0] = int(A[0])
            if int(A[1]) != A[1]:
                A[1] += 1
            A[1] = int(A[1])

            if ans_len > A[1] - A[0]:
                ans_len = A[1] - A[0]
                ans = A.copy()
print(ans_len, ans)