15.05 Отрезки

Решение руками

В начале для удобства заменим некоторые выражения:

Тогда выражение примет такой вид:

Заменим импликацию на отрицание первого или второе. Выражение будет выглядеть следующим образом:

Раскроем отрицание в скобке. Теперь выражение имеет такой вид:

Избавимся от повторяющейся Р под отрицанием и получим окончательное упрощенное выражение:

Как можем заметить, нам нужно найти значения x когда выражение равно истине, при этом только А должна равняться единице, а все остальные – 0. Не P и Не Q будут равны 0, когда х будут находиться в пределах отрезков P и Q. Получается, нас интересует отрезок, который находится как в отрезке P,так и в отрезке Q. Это отрезок: . Ответ:34.

Решение программой

Идея заключается в переборе возможных концов отрезка (от 1 до 200) и проверке, что при всех значениях переменной (от 1 до 1000) исходное выражение даёт истину. Если во время проверки найдётся хотя бы одно значение , нарушающее условие, программа должна перейти к рассмотрению нового отрезка. После завершения перебора минимальная полученная длина отрезка и будет ответом.

Для реализации этой идеи необходимо задать отрезки и при помощи функции range(), а также ввести переменную , равную 10 ** 100: в неё будет записан наш ответ. Далее, создадим цикл for, необходимый для перебора значений начала отрезка . Внутри него, с помощью того же цикла, организуем перебор значений конца искомого отрезка. При каждой итерации будем создавать переменную-флаг, которая изначально равна 0, а затем задавать отрезок при помощи функции range(). Внутри нижнего цикла необходимо начать перебор значений переменной . Если выражение ложно хотя бы для одного , то флагу присваивается значение 1, а последний цикл останавливается. Если после перебора всех значений флаг остаётся равным 0, значит выражение тождественно истинно для текущего отрезка : присваиваем его длину , если она меньше текущего значения данной переменной. В конце ответ выводится на экран.

p = range(55, 100 + 1)  # Задаём отрезок P
q = range(66, 129 + 1)  # Задаём отрезок Q
r = 10 ** 100  # Длина отрезка A
for a1 in range(1, 200):  # Перебираем начало отрезка A
    for a2 in range(a1 + 1, 201):  # Перебираем конец отрезка A
        f = 0  # Флаг, указывающий на истинность выражения при любых значениях переменной x
        a = range(a1, a2)  # Задаём отрезок A
        for x in range(1, 1000):  # Перебираем значения переменной x
            # Если при текущем значении переменной x выражение даёт ложь (0), то
            if ((x in p) <= (((x in q) and (x not in a)) <= (x not in p))) == 0:
                f = 1  # меняем значение флага на 1,
                break  # останавливаем цикл и переходим к следующему отрезку A
        if f == 0:  # Если значение флага не менялось, значит текущий отрезок A подходит
            r = min(len(a) - 1, r)  # Сравниваем длину отрезка A с переменной r
print(r)  # Выводим ответ на экран