15.05 Отрезки

Руками:

Заменим импликацию на отрицание первого или второе:

Избавимся от скобок и от повторяющейся :

Найдем случаи, когда известная часть равна 0 и тогда мы узнаем какой должен быть отрезок А для того чтобы выражение было тождественно истинным. Для этого запишем её отрицание:

Оно равно 1 если x находится в P и при этом не находится в Q. Это отрезок [15;19]. Его длина равна 4.

Ответ: 4

Прогой:

Для нахождения наименьшей длины отрезка , при котором выражение

тождественно истинно для всех натуральных , используем программный перебор. Идея заключается в том, чтобы перебрать все возможные отрезки с . Для каждого отрезка создаём список всех целых чисел внутри . Далее проверяем истинность формулы для всех от 1 до 499. Если хотя бы для одного формула ложна, текущий отрезок отбрасываем. Если выражение истинно для всех , вычисляем длину и обновляем минимальное найденное значение. В конце цикла минимальное значение длины отрезка будет ответом.

p = [i for i in range(15, 45)]  # список всех целых чисел в отрезке P
q = [i for i in range(20, 47)]  # список всех целых чисел в отрезке Q
mn = 10**10  # переменная для хранения минимальной длины A
# перебор всех возможных левых концов отрезка A
for a1 in range(1, 500):
    # перебор всех возможных правых концов отрезка A, строго больше a1
    for a2 in range(a1+1, 501):
        c = 0  # флаг: 0 - выражение истинно для всех x, 1 - найдена ложь
        a = [i for i in range(a1, a2)]  # список всех чисел в текущем отрезке A
        # проверка формулы для всех x от 1 до 499
        for x in range(1, 500):
            if ((x in p) <= ((not(x in q) and not(x in a)) <= (not(x in p)))) == False:
                c = 1
                break  # если ложь, прекращаем проверку текущего A
        # если выражение истинно для всех x, обновляем минимальную длину
        if c == 0:
            mn = min(len(a)-1, mn)
print(mn)  # выводим наименьшую длину подходящего отрезка A