Тема Тождественные преобразования

Преобразования с целой и дробной частями

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100676

Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения

[n ] [n ] [n] √- 1 + 2 +...+ n +[ n]

является чётным.

Источники: Индийская национальная олимпиада

Показать доказательство

Заметим, что выражение $[n] k$ равняется количеству чисел, которые не превосходят $n$ и делятся на $k.$ Воспользуемся фактом, что если число не является точным квадратом, то оно имеет чётное количество делителей, а если число является точным квадратом, то оно имеет нечётное число делителей. Тогда рассмотрим выражение

[n] [n] [n] 1 + 2 + ...+ n

Из утверждений выше получаем, что каждое число, не превосходящее $n,$ будет учтено в нём столько раз сколько у него делителей. Значит, каждый не точный квадрат будет учтён чётное число раз, а каждый точный квадрат — нечётное число. Но заметим, что число точных квадратов, не превосходящих $n,$ равно $√- [n].$ Тогда в выражении

[ ] [ ] [ ] √- n1 + n2 +...+ nn +[ n]

каждое число учтено чётное число раз, т.е. выражении число равно сумме чётных чисел, а, следовательно, и само является чётным.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#58009

Вычислите

[∘ ---√----- ∘ ---√----] 45+ 2022− 45 − 2022 ,

где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$ ).

Источники: Ломоносов-2023, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим наше выражение внутри скобок за t. Тут какие-то страшные корни, давайте избавимся от них с помощью возведения t в квадрат!

Подсказка 2

t² = 90 - 2√3. Стоит вспомнить, что 1 < √3 < 2, и, получив из этого оценку на t², легко найти целую часть от t!

Показать ответ и решение

Обозначим

∘----√---- ∘----√---- t= 45+ 2022− 45− 2022.

Чтобы не возиться с корнями, попробуем оценить квадрат этого выражения, тем более он довольно симпатичный:

2 √ ---- ∘ ---√-----∘ ---√----- √ ---- t = 45+ 2022− 2⋅ 45 + 2022⋅ 45 − 2022+ 45− 2022=

∘--2----- √ - = 90− 2 45 − 2022= 90− 2 3

Из очевидного $1< √3< 2$ получаем $90− 4< t2 < 90− 2$ . Откуда, конечно, $92 = 81< t2 < 100= 102,$ так что целая часть числа $t$ равна $9.$ Здесь, однако, важно сказать, что $t> 0$ , иначе наше решение не исключало бы, что целая часть могла быть равна $− 10$ . Но в силу $45+√2022> 45− √2022-$ следует очевидность (которую всё же надо упомянуть!) неравенства $t> 0.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78811

Сумма дробных частей нескольких положительных чисел равна целой части их произведения. Докажите, что дробная часть суммы этих чисел равна произведению их целых частей. Напомним, что целая часть $[x]$ числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$ (например $[1,3]= 1$ ), а дробная часть ${x}$ числа $x$ задается формулой ${x}= x− [x].$

Источники: Олимпиада Эйлера, 2020, ЗЭ, 5 задача(см. old.mccme.ru)

Показать доказательство

Если дробная часть числа равна целому числу, то это $0.$ Значит, надо доказать, что сумма наших чисел — целое число и произведение их целых частей равно $0.$ Первое очевидно, так как по условию сумма дробных частей наших чисел — целое число. Допустим, второе неверно. Тогда у всех наших чисел $x1,...,xn$ целые части не меньше $1,$ и мы имеем