Тема ФЕТТ (Формула Единства / Третье Тысячелетие)

Алгебраические текстовые задачи на ФЕ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела фетт (формула единства / третье тысячелетие)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120575

Катя участвует в викторине: ей надо выбрать из нескольких ответов на вопрос один верный. Если она угадает, то получит приз, составляющий некое фиксированное количество рублей, а если назовёт неверный ответ, то потеряет некую (тоже фиксированную) сумму. Изначально Катя планировала выбирать ответ случайным образом, что приносило ей в среднем $100$ рублей. Однако, подумав над вариантом А, Катя осознала, что он точно неверный, и можно выбрать случайным образом из остальных вариантов. В результате математическое ожидание Катиного выигрыша удвоилось. Подумав над вариантом В, Катя отбросила и его, в результате математическое ожидание выигрыша снова удвоилось. Сколько рублей составляет приз?

Источники: ФЕ - 2025, 11.1(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введём переменные, чтобы записать в виде уравнения все процессы из условия. Пусть P — величина приза, S — величина штрафа, n — количество вариантов ответа. Как записать матожидание выигрыша до отбрасывания ответов?

Подсказка 2

У нас один из n вариантов с выигрышем, равным P, а (n-1) из n вариантов с выигрышем -S.

Подсказка 3

P/n - S(n-1)/n = 100. Теперь по аналогии можно составить целую систему!

Подсказка 4

Выразите двумя способами P + S, это поможет найти n!

Показать ответ и решение

Пусть $P$ — величина приза, $S$ — величина штрафа (по модулю), $n$ — количество вариантов ответа. Тогда из условия следует система

(| P S(n− 1) ||||{ -n −---n---= 100, --P- − S(n-− 2)= 200, ||||| n −P 1 Sn(n−−1 3) ( n-− 2 −-n−-2-= 400

После преобразований получаем

( ||| P +-S-= S+ 100, |{ P +nS-= S+ 200, ||| nP− + 1S |( n−-2-= S+ 400

Вычитая из второго уравнения первое и из третьего уравнения второе, получаем:

( ( ) ||{ (P +S) -1--− 1 =100 | ( n−1 1 n1 ) |( (P +S) n−-2 − n−-1 =200

Приведем подобные слагаемые в скобках левых частей и разделим первое уравнение на второе

(n-− 1)(n-− 2)= 1 n(n − 1) 2

Тогда $n(n− 1)= 2(n− 1)(n− 2).$ Изначально у кати было как минимум $3$ возможных варианта ответа, поэтому $n >1.$ Тогда уравнение можно разделить на $n− 1.$ Имеем $n = 2n − 4,$ откуда $n= 4.$ Подставим это $n$ в уравнения системы и получим

(|{ P +-S 4 = S+ 100, |( P +3S-= S+ 200,

Мы оставили только два уравнения, поскольку число неизвестных уменьшилось на $1.$ Из этой системы следует, что

P + S =4S +400= 3S+ 600

тогда $S =200.$ Следовательно, $P =1000.$

Ответ:

$1000$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#94760

Однажды Валера вышел из дома, дошёл пешком до дачи, покрасил там 11 досок забора и вернулся домой через 2 часа после выхода. В другой раз Валера с Ольгой пошли на дачу вместе, вдвоём покрасили 8 досок забора (не помогая и не мешая друг другу), вместе ушли и вернулись домой через 3 часа после выхода. Сколько досок успеет покрасить Ольга в одиночку, если ей надо вернуться домой через полтора часа после выхода? Физические способности Валеры и Ольги, их трудолюбие и условия работы неизменны.

Источники: ФЕ - 2021, 7.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, произошло что-то странное — вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы... Как думаете, почему так?

Подсказка 2

Дело в том, что скорость "совместной" ходьбы равна меньшей из скоростей путников! Надо бы тогда понять, сколько времени они потратили на дорогу.

Подсказка 3

Можно ввести переменные, а можно просто пооценивать. Если Валера за 2 часа успел 11 досок покрасить, то во второй раз он красил доски не более скольких часов? Тогда какое минимальное количество времени занимала дорога до забора вместе с Ольгой? Какой вывод делаем?

Показать ответ и решение

Странный результат (вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы) объясняется разным временем, затраченным на ходьбу, ведь скорость «совместной» ходьбы равна меньшей из скоростей путников. Во второй раз Валера работал не более чем $-8 2⋅11$ часов, значит, на путь они затратили хотя бы $16 17 3− 11 = 11 > 1,5$ часов. Значит, за полтора часа Ольга не успеет даже дойти до дачи и вернуться.

Ответ: 0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания