.10 Задания 2023-24 года

а) Найдем функцию рыночного спроса. Поскольку при ценах покупают билеты только непенсионеры, спрос имеет вид

Дальше можно решать двумя способами - максимизацией прибыли по цене или по количеству.

Способ 1 (максимизация по цене). Составим функцию прибыли фирмы .

Найдем цену , при которой прибыль максимальна. Функция прибыли на каждом из участков является квадратичной, ветви парабол направлены вниз. Поэтому максимум на каждом из участке достигается в вершине соответствующей параболы, если она принадлежит этому участку.

Найдем эти вершины. - На участке , что принадлежит этому участку. - На участке , что принадлежит этому участку.

Значит, обе цены 41 и 50 являются точками локального максимума прибыли. Глобально оптимальной будет та из этих двух цен, при которой прибыль больше. Рассчитаем эту прибыль.

Поскольку , оптимальной является цена . Авиакомпания назначит цену, при которой пенсионеры не будут пользоваться ее услугами.

Способ 2 (максимизация по количеству). Найдем обратную функцию рыночного спроса из уравнения .

Точку излома получаем, подставив цену излома в . Составим функцию прибыли .

На каждом из двух участков функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. При вершиной параболы является , при вершина находится в точке . Обе вершины принадлежат соответствующим участкам, значит, на каждом из участков максимум достигается именно в соответствующей вершине.

Также точки локального максимума и можно найти из приравнивания и . Функция на каждом из участков вдвое более крута, чем функция :

Решая уравнение , находим его два корня и . Это точки локального максимума прибыли, потому что убывает в окрестности этих точек, а постоянны.

Чтобы найти глобальный максимум прибыли, сравним прибыль при и .

Значит, прибыль максимальна при , что соответствует цене .

б) Фирма будет готова платить за аренду офиса сумму не большую, чем прирост ее прибыли от того, что она сможет назначать две разные цены, а не одну единую. Найдем максимальную прибыль фирмы, если она может назначать две разные цены.

Способ 1 (максимизация по ценам). Пусть - цена для пенсионеров, а - для всех остальных. Тогда прибыль фирмы как функция этих двух цен примет вид

Как видим, функция прибыли разбивается на сумму двух слагаемых, каждое из которых является функцией только от своей цены. Прибыль будет максимальна, когда каждое из слагаемых будет максимально. Поскольку каждое из слагаемых является квадратичной функцией и ветви парабол направлены вниз, максимум каждого из слагаемых достигается в вершине соответствуюшей параболы. Отсюда , (вторую вершину мы уже нашли в пункте а)).

Максимальная прибыль (без учета расходов на аренду) равна

Значит, фирма будет готова платить за аренду офиса не больше, чем

Эту сумму можно было найти чуть проще, заметив, что поскольку фирма назначает для непенсионеров ту же цену, что и в пункте а), (переменная) прибыль от непенсионеров та же, а значит, просто равно вновь полученной прибыли от пенсионеров, то есть .

Способ 2 (максимизация по количествам). Пусть - объем покупок пенсионеров, - непенсионеров. Тогда прибыль фирмы как функция от и есть

Как видим, функция прибыли разбивается на сумму двух слагаемых, каждое из которых является функцией только от своего количества. Прибыль будет максимальна, когда каждое из слагаемых будет максимально. Поскольку каждое из слагаемых является квадратичной функцией и ветви парабол направлены вниз, максимум каждого из слагаемых достигается в вершине соответствующей параболы. Отсюда , (вторую вершину мы уже нашли в пункте а)).

Также можно эти объемы найти из приравнивания предельного дохода для каждой группы с предельными издержками: . При таком решении проверкой достаточных условий максимума является указание на то, что функции убывают, а постоянны. Максимальная прибыль (без учета расходов на аренду) равна . Значит, фирма будет готова платить за аренду офиса не больше, чем

в) Пересчитаем максимальную прибыль в случае открытия офиса. Она находится так же, как в пункте б), но с новым спросом непенсионеров. Поскольку спрос пенсионеров тот же, что в б), мы уже знаем оптимальную цену для них (оптимальный объем ).

Найдем новый оптимум при обслуживании непенсионеров.

Способ 1 (максимизация по цене). Новую оптимальную цену для непенсионеров находим из максимизации функции . Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине, откуда .

Способ 2 (максимизация по количеству). Новый оптимальный объем для непенсионеров находим из максимизации функции ( . Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине, откуда . Также этот объем можно найти из приравнивания и .

Значит, в случае открытия офиса прибыль будет равна

Отсюда .