.10 Задания 2023-24 года

a) Исходя из соотношения товаров в комплектах, имеем и . Подставим в уравнения КПВ и преобразуем:

Из первого уравнения получаем , в Линее потребляется 40 комплектов. Из второго уравнения:

Нас интересует положительный корень . Это и есть количество комплектов, потребляемых в Квадратии.

Общее количество комплектов в двух странах равно . Графики КПВ (Рис. 3.1) для полного решения необязательны.

б) Способ 1 (не требует сложения КПВ). Составим систему ограничений, которая будет учитывать и КПВ обеих стран, и необходимость производить комплекты, и преобразуем ее так, чтобы выразить через :

Количество комплектов, произведенное в странах, равно количеству произведенного товара X , то есть . Его и нужно максимизировать при указанных выше ограничениях. Запишем выражение для этого количества:

Это парабола с ветвями вниз, ее максимум достигается при . Отсюда получаем

Оба объема производства X меньше максимально возможных в своих странах, поэтому найденные точки действительно лежат на страновых КПВ.

Общее количество комплектов равно общему количеству товара X и составляет . Это на 9 комплектов больше, чем в пункте а).

Способ 2. Построим суммарную КПВ. Альтернативная стоимость товара в Линее всегда равна 2 , а в Квадратии является переменной величиной, равной модулю производной по . При значениях альтернативная стоимость в Квадратии меньше, товар X нужно производить там. При б´ольших производство каждой единицы X в Квадратии становится дороже, чем в Линее, поэтому нужно переключиться на производство X в Линее, а вернуться в Квадратию тогда, когда производственные возможности X в Линее будут исчерпаны.

Таким образом, уравнение общей КПВ имеет вид:

В каждом уравнении выражение в круглых скобках - количество единиц товара Y, произведенное в Линее, а в квадратных скобках - в Квадратии. Выражения записаны так, чтобы было видно, какое значение подставляется в уравнение КПВ каждой страны.

Подставим условие на соотношение товаров в комплекте в каждый участок, при этом упростив правые части:

Поскольку КПВ - убывающая функция, а - возрастающая, у них может быть не более одного пересечения. Решим самое простое уравнение - второе, получим , что попадает в интервал . Можно (но не обязательно) убедиться, что решение первого уравнения на соответствующий участок не попадает, а третье уравнение и вовсе не имеет корней (это видно на Рис. 3.2, где «недостающие» части парабол нарисованы светлыми линиями). Значит, и есть оптимальное производство товара X и оптимальное количество комплектов. Общее количество увеличится по сравнению с пунктом а) на 9.

Сложить КПВ можно и другим (более длинным) способом, не прибегая к сравнению альтернативных издержек. По определению, уравнение суммарной КПВ показывает максимальный суммарный уровень производства товара при данном суммарном производстве товара . Значит, можно получить, решив оптимизационную задачу (*):

Подставляя выражения для и , получаем задачу

Затем, выражая, например, через и , получаем задачу

Ее решение будет достигаться либо в вершине параболы , либо на одной из границ в зависимости от , а именно:

Подставляя в целевую функцию, находим уравнение КПВ , состоящее из трех участков.