.09 Задания 2022-23 года

После введения НДПИ по ставке возможны два случая: 1) нефть поставляется только на внутренний рынок; 2) нефть поставляется как на внутренний, так и на внешний рынок.

Найдем, при каких и реализуется каждый из двух случаев. Прямая функция внутреннего спроса имеет вид . После введения НДПИ кривая предложения примет вид , то есть . Нефть будет поставляться на внешний рынок тогда и только тогда, когда , то есть , откуда .

Теперь найдем зависимость равновесного объема добычи (производства) от . При нефть будет экспортироваться, общий объем добычи будет определяться мировой ценой, . При нефть будет продаваться только внутри страны, а значит, объем будет определяться внутренним равновесием: , откуда . Подытоживая,

Значит, налоговые сборы по НДПИ будут равны

Государство максимизирует эту функцию по . Найдем точку глобального максимума при каждом . Заметим, что функция на каждом из двух участков является квадратичной, ветви парабол направлены вниз. Легко проверить, что функция является непрерывной в точке переключения с одной параболы на другую.

Чтобы установить промежутки монотонности функции , найдем точки вершин парабол, а также значения , при которых вершины парабол находятся на актуальных для этих парабол участках. Последнее важно, потому что если обе вершины парабол находятся за пределами участков, на которых эти параболы актуальны, то будет максимальна не в вершине какой-либо из двух парабол, а в точке стыковки двух парабол.

Вершиной левой параболы является , вершиной правой параболы . Эти точки можно также найти, приравнивая производную сборов к нулю. Вершина левой параболы принадлежит актуальному для этой параболы участку при . Вершина правой параболы принадлежит актуальному для этой параболы участку при . Кроме того, заметим, что при , и потому левого участка при просто нет (это случай, когда мировая цена меньше чем равновесная в закрытой экономики, поэтому даже без налога экспорта не будет).

Получаем 4 случая. 1. При левого участка нет, графиком является просто парабола, оптимальной ставкой налога является . 2. При левый участок есть, но вершина левой параболы находится вне левого участка (справа от него). Значит, на левом участке функция монотонно возрастает. Вершина правой правой параболы принадлежит правому участку. Значит, максимум функции достигается в вершине правого участка, . 3. При вершины обеих парабол принадлежат соответствуюшим участкам. Значит, максимум достигается в одной из вершин - в той, где значение функции больше. Сравним эти значения. . при . Значит, при оптимальной ставкой будет , при оптимальной ставкой будет . При государство безразлично. По условию, оно выберет наименьшую ставку, то есть . 4. При вершина левой параболы принадлежит левому участку, вершина правой параболы лежит левее правого участка. Значит, на правом участке функция монотонно убывает, а максимум достигается в вершине левого участка, .

В итоге, получаем, что оптимальной ставкой налога при каждой мировой цене является

График этой функции выглядит следующим образом: