.07 Задания 2020-21 года

a) Найдем, как нужно разделить обязанности племен по добыче 3 единиц мяса, чтобы в итоге количество собранных плодов было максимально, то есть решим задачу

при условии , а также . Подставляя в целевую функцию , получаем задачу

При этом найти максимум этой функции надо на отрезке [0;2], так как первое племя не может добыть больше 2 единиц мяса. При этом производство второго племени будет изменяться от 1 до 3 . Эти количества для второго племени возможны, так что дополнительных ограничений не возникает. Находя вершину этой параболы с ветвями вниз, получаем, что , что принадлежит отрезку [0;2]. Значит, это и есть искомый максимум. Второе племя будет производить единиц мяса. Общее количество собранных плодов при этом равно .

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по функцию . Оптимизировать нужно на отрезке , так как в силу ограничения на общее количество мяса и , и в силу ограничения на общее количество мяса и .

Кроме того, точку можно получить, приравнивая производную целевой функции к нулю, или, что эквивалентно, приравнивая альтернативные издержки производства для двух племен. Для первого племени альтернативные издержки равны , для второго .

б) Теперь нужно решить задачу

при условиях . Аналогично пункту а), получаем задачу

Второе племя не может добыть больше 4 единиц мяса. Значит, первому племени надо будет добыть минимум одну единицу мяса. Таким образом, максимум этой функции мы будем искать на отрезке [1;2]. Вершиной данной параболы с ветвями вниз является точка , и значит, максимум будет достигаться на краю отрезка, в точке . Второе племя произведет все оставшиеся четыре единицы, а количество собранных плодов будет равно 3.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по функцию 6 - . Оптимизировать нужно на отрезке в силу ограничения на общее количество мяса и .

Кроме того, решение можно получить, если заметить, что производная целевой функции отрицательна на отрезке [1;2], или, что эквивалентно, для любого альтернативные издержки добычи мяса первым племенем в точке больше, чем альтернативные издержки добычи мяса вторым племенем в точке .

в) КПВ есть не что иное, как график функции, показывающей, какое максимальное количество Игрека можно произвести, если всего требуется произвести единиц Икса. Две точки на КПВ острова мы уже нашли - (3;5) и (5;3). Теперь осталось найти остальные, решив ту же задачу максимизации уже для произвольного значения , то есть

при условиях . Ясно, что . Переходя к оптимизации по одной переменной, получаем задачу

где - параметр. Если , эту задачу надо решать на отрезке - для любого , второе племя сможет произвести . Если же , так как первое племя должно будет произвести минимум единицы мяса.

Нетрудно определить, что вершина параболы с ветвями вниз находится в тотiле .

Случай 1. , и поэтому принадлежит этому отрезку для любого , а значит, будет решением задачи. Тогда .

Случай 2. , и поэтому . принадлежит этому отрезку при , или . Значит, решением будет

Действительно, если вершина параболы с ветвями вниз лежит левее допустимого отрезка, оптимум достигается в левом конце отрезка. При максимальное количество собранных плодов будет равно

Обобщая, получаем, что КПВ острова задается уравнением

Тот же ответ можно получить, оптимизируя по и обобщая анализ в пунктах а) и б). При максимизацию по нужно проводить на отрезке [0;4], а при на отрезке . Граничное значение определяется из условия .

Кроме того, решить пункт можно с помощью производной или анализа альтернативных издержек. При является доступным распределение , при котором производная целевой функции равна нулю (альтернативные издержки двух племен равны). Поскольку альтернативные издержки обоих племен возрастают, производная целевой функции убывает, и значит, это точка максимума. При это распределение не является доступным, так как . При оптимизации по производная целевой функции отрицательна на отрезке альтернативные издержки первого племени больше в точке , чем альтернативные издержки второго племени в точке - и потому оптимальным является минимальное значение , то есть .