.05 Задания 2018-19 года

a) Найдем первоначальный оптимум, для чего составим функцию прибыли.

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке [0;8]. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке . (Это значение можно найти и приравниванием производной прибыли к 0.) Следовательно, функция возрастает на допустимом отрезке , оптимальный выпуск равен . При этом максимальная прибыль составит .

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода и предельных издержек . При всех выполнено , так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение . Функции и пересекаются в точке , но это больше допустимого количества.

б) После внедрения плана А функция издержек примет вид .

Функция прибыли примет вид

Фирма максимизирует эту функцию на отрезке . Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке . Следовательно, функция возрастает на отрезке , оптимальный выпуск равен . При этом максимальная прибыль составит .

Тот же результат можно получить, проанализировав функции предельного дохода и предельных издержек . При всех выполнено , так что производство всех 8 единиц выгодно фирме, то есть оптимальное значение . Функции и пересекаются в точке , но это больше допустимого количества.

Для получения этого ответа можно формально не максимизировать новую функцию прибыли. Заметим, что при снижении предельных издержек монополиста его оптимальный выпуск увеличится, так как в силу убывания функции ее пересечение с будет правее, чем раньше. А значит, фирма по-прежнему будет производить максимально доступное количество товара.

Чтобы узнать максимально допустимое для фирмы значение , решим неравенство . Получаем, что за план А фирма будет готова платить не более, чем 32 ден. ед.

в) Функция прибыли не изменится; изменится отрезок, на котором фирма проводит оптимизацию. Теперь фирма будет максимизировать прибыль на отрезке [0;12]. Заметим, что теперь отрезок содержит вершину параболы , найденную в пункте а). Значит, фирма выберет этот объем выпуска. Максимальная прибыль составит .

Решая неравенство , получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 2 ден. ед.

г) Теперь изменится и функция прибыли, и отрезок. Фирма будет максимизировать функцию на отрезке . В пункте б) мы видели, что эта функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, вершина параболы находится в точке 14 . Следовательно, функция возрастает на отрезке [0;12], оптимальный выпуск равен 12. Максимальная прибыль составит .

Решая неравенство , получаем, что за план Б фирма будет готова платить не более, чем 48 ден. ед.