.05 Задания 2018-19 года

a) Во время спада функция спроса будет иметь вид . Обратная функция спроса будет иметь вид . Выпишем прибыль как функцию от количества нанятых работников в период подъема и спада :

Как видим, прибыль является суммой двух не зависящих друг от друга слагаемых, и поэтому каждое их них можно оптимизировать по отдельности. Каждое из них задает параболу с ветвями вниз относительно своей переменной, откуда .

Ответ можно найти и с помощью выписывания стандартных условий для каждого периода:

Функции убывают, а возрастают, так что найденные точки являются точками максимума.

Еще один способ - взять производную функции прибыли по обеим переменным: , откуда , откуда . Эти точки являются точками максимума, так как производные меняют знак с плюса на минус (вариант: вторая производная, равная ( -1 ) в период подъема и ( -3 ) в период спада, отрицательна).

Кроме того, с таким же успехом можно было оптимизировать прибыль по или . В каждом из случаев функция является суммой двух квадратичных парабол.

б) В этом пункте нам нужно найти максимум той же функции , которую мы нашли выше, но при ограничении .

Легко убедиться, что самая лучшая для фирмы точка этому условию не удовлетворяет. Поскольку функция прибыли, будучи суммой двух квадратичных функций, убывает при движении в любом направлении от точки глобального максимума , максимум этой функции при ограничении достигается на границе допустимого множества, то есть когда ограничение выполняется как равенство . При этом условии

Полученная функция одной переменной является квадратичной, ветви параболы направлены вниз. Поэтому оптимальным является . Тогда .

Максимум снова можно найти с помощью производной. , откуда . Это точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус (вариант: вторая производная (-7/4) отрицательна).

Также можно было выписать прибыль как функцию от .

в) В пункте а) суммарная занятость за два периода равна , а в пункте б) < 56. Таким образом, благосостояние работников упало.