.04 Задания 2017-18 года

Общую прибыль можно записать так:

После подстановки обратных функций спроса и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:

Выражение в каждой из скобок - парабола относительно (каждое влияет на значение только «своей» параболы). Если то выражения в скобках принимают вид ( ). Все параболы имеют вершину в точке то есть

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к 0 даст максимум выражения под знаком производной:

Еще один способ - посчитать прибыль в регионе как функцию от цены:

Это парабола с ветвями вниз относительно максимум достигается при
Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):

При данных функциях спроса а по условию. Отсюда получаем
Этот результат никак не зависит от того, каково значение сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных

Это тоже парабола с ветвями вниз - теперь уже зависящая от переменной Ее максимум достигается в вершине - точке но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной

Альтернативное решение. С помощью рассуждений из предыдущего пункта можно рассчитать максимальную прибыль (не считая издержек открытия маршрута). Она равна 50, то есть открытие каждого нового маршрута приносит компании дополнительно 50 денежных единиц. Запускать маршруты нужно до тех пор, пока издержки на запуск меньше или равны дополнительной выгоде (после этого запуск нового маршрута будет уменьшать прибыль). Таким образом, оптимально будет открыть 49 или 50 маршрутов, а максимальная прибыль составит