.03 Задания 2016-17 года

a) Пусть - количество проектов, на которые фирма будет ставить неопытных консультантов вместе с опытными, а - количество проектов, на которые фирма будет ставить только двух опытных консультантов, Обозначим за количество неопытных консультантов, за - количество опытных. Тогда Затраты компании на услуги труда консультантов равны

Нужно минимизировать эту функцию при ограничениях Эту задачу можно свести к задаче минимизации по одной переменной. Поскольку переменных у нас четыре ( и ), это можно сделать четырьмя способами.

Способ 1 (по ). Подставим выражения для и в целевую функцию:

Затем, подставляя получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем
Способ 2 (по ). Подставим выражения для и в целевую функцию:

Затем, подставляя получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями вверх, и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем
Окончание способов 1 и 2.3 начит, на 5 проектов фирма отправит только опытных консультантов, а на 20 - группы из 1 опытного и 3 неопытных консультантов. Всего она наймет неопытных и опытных консультантов.

Способ 3 (по ). Выразим и через и и поэтому Отсюда Значит, ограничение принимает вид то есть Отсюда Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями ввер и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 60 неопытных и опытных консультантов.

Способ 4 (по ). Аналогично способу 3, получаем, что Отсюда Подставляя это соотношение в целевую функцию, получаем

Фирма минимизирует значение этого выражения по на отрезке Относительно это парабола с ветвями ввер и поэтому минимум издержек достигается в ее вершине если Тот же ответ можно получить, взяв производную функции по и приравняв ее к 0. В этом случае можно заметить, что производная в критической точке меняет знак с - на + (варианты: первая производная возрастает, вторая производная равна 2, то есть положительна), так что это точка минимума.

При имеем Получаем тот же ответ, что выше: фирма наймет 30 опытных консультантов неопытных консультантов.
б) Будем руководствоваться ответами, полученными в предыдущем пункте для произвольного

Если фирма не нанимает неопытных консультантов, то то есть и должны лежать на левой границе допустимого интервала, а и - на правой.

Для этого вершина параболы, которую мы минимизировали в пункте а), должна лежать или на соответствующей границе, или за ней (например, если получилось, что издержки минимизируются при и а при этом то нужно выбирать и ).

В зависимости от способа решения пункта а) (которое может быть в общем виде приведено в пункте б), если пункт а) решался для ) это будет или правая ( ), или левая граница найденного интервала.

Решая соответствующее неравенство ( или или или во всех четырех случаях получаем

Значит, фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее количество проектов не больше 15.