.02 Задания 2015-16 года

a) Обозначим за и объемы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия следует, что Подставляя эти соотношения в уравнение КПВ, получаем, что (Это не что иное, как уравнение КПВ Кабаджленда относительно товаров.) Второе уравнение на и получаем из условия о том, что полдник должен состоять из одного пирожка и одного стакана морса: Решая получившуюся систему, получаем, что

Аналогично, и - объемы производства пирожков и морса в Бэриленде. Снова имеем соотношения откуда получаем, что Вновь учитывая, что получаем, что

Таким образом, максимальный мировой объем потребления полдников равен полдника.

Кабаджленд

Бэриленд

Рис. 1.1: Кривые производственных возможностей относительно товаров

б) В пункте а) мы вывели, что уравнения КПВ стран в координатах «пирожки-морс» имеют вид

и Сложим эти КПВ стандартным образом:

Рис. 1.2: Общая КПВ
Уравнение этой КПВ имеет вид:
5 баллов, если участник любым способом (аналитически или графически) демонстрирует, что может сложить эти КПВ.

где и - мировые объемы производства пирожков и морса соответственно.

Теперь нам нужно пересечь график мировой КПВ с лучом (Рис. 1.3).

Заметим, что точка излома КПВ имеет координаты то есть в ней Следовательно, пересечение в КПВ произойдет на втором участке, то есть тогда, когда Получаем уравнение откуда

Таким образом, максимальный мировой объем потребле-
3 балла за нахождение количества полдников (рисунок необязателен) ния полдников теперь равен 56.

Рис. 1.3: Общая КПВ и полдники

Примечание. Задача может быть решена и без получения уравнения суммарной КПВ. Воспользовавшись идеей о сравнительных преимуществах (альтернативная стоимость пирожка в Кабаджленде меньше, чем в Бэриленде), заметим, что первый пирожок должен быть произведен в Кабаджленде. Однако даже если мы произведем там все возможные пирожки (40 штук), морса в Бэриленде можно будет произвести большее количество (120 стаканов), значит, там тоже частично нужно производить пирожки. Производя дополнительных пирожков, мы отказываемся в Бэриленде от стаканов морса. Чтобы в сумме не было лишних пирожков или морса, должно быть выполнено то есть и всего можно произвести 56 полдников.
в) Докажем, что максимальный мировой объем потребления полдников равен 60. Для этого: 1) докажем, что искомый объем потребления не больше 60 (оценка); 2) приведем пример обмена между странами, при котором искомый объем равен 60 (пример).

1.

(Оценка) Выпишем снова уравнения КПВ стран относительно ресурсов:

Сложим эти уравнения (просто как уравнения, а не в смысле сложения КПВ). Получаем

Обозначим количество полдников за Заметим, что, в силу
пропорций производства и потребления верны следующие равенства: Подставляя эти равенства в уравнения выше, получаем, что

Таким образом, откуда что мы и хотели доказать.
2) (Пример.) 60 полдников страны могут получить следующим образом:

• Кабаджлэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц капусты;
• Берилэнд производит 60 единиц муки и 60 единиц смородины;
• Кабаджлэнд отправляет 30 единиц капусты в Бэриленд, где из муки и этой капусты делают 30 пирожков;
• Из оставшейся капусты и муки в Кабаджлэнде делают 30 пирожков.
• Из смородины в Бэрилэнде делают 60 единиц морса;
• Бэрилэнд отправляет в Кабаджлэнд 30 единиц морса, в результате чего в каждой стране оказывается по 30 полдников.
  Примечание 1. Этот пример не единственен. Легко проверить, что подойдет любой пример, в котором Кабаджлэнд производит 60 единиц капусты и отправляет в Бэрилэнд не меньше 30 из них (и при этом производство муки в двух странах определяется из количеств капусты, которые окажутся в двух странах в результате этого, а производство смородины определяется по остаточному принципу).

Примечание 2. Построение примера является неотъемлемой частью решения. Из того, что выполнено неравенство еще не следует, что оно может быть выполнено как равество. Действительно, наше доказательство неравенства никак не учитывало возможности торговли, а потому это неравество могло быть абсолютно так же доказано и в пунктах а) и б). Тем не менее, как мы видим, в этих пунктах верхняя граница не достигается.