.02 Задания 2015-16 года

Решение. Заметим, что Составим таблицу с расчетом стоимости всех активов Кузьмы в разных случаях и подставим

Ожидаемая стоимость актива

при хорошей погоде	при плохой погоде

(Изначальные коэффициенты перед и рассчитаны как отношение новой и старой цены, то есть показывают, во сколько раз увеличиваются вложения. Соответствующее количество акций равно и а их стоимость через год, скажем, при хорошей погоде равна и )
a) Каждая из двух получившихся функций возрастает по одной из переменных ( или ) и убывает по другой. Значит, для максимизации нужно выбирать максимально возможное значение одной переменной ( 1,5 ) и минимальное значение другой ( 0 ). Таким образом, нужно вкладывать в акции определенной компании все 1,5 миллиона, не оставляя ничего на депозите.

К такому же выводу можно было прийти, сравнив доходности трех активов: у депозита она равна у компании в хорошую погоду и у компании в плохую погоду - больше ( и ), а у компании в хорошую погоду и у компании в плохую погоду - меньше ( и ).

Таким образом, при хорошем прогнозе погоды Кузьма вложит все деньги в акции компании А, а при плохом - вложит все деньги в акции компании В, не оставляя ничего на депозиme. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 150 тыс. акций соответствующей компании.) В первом случае ожидаемая стоимость портфеля через год будет равна 3 млн руб., а во втором она будет равна 2,1 млн руб.

б) Найдем, при каком условии стоимость портфеля в хорошую погоду будет не меньше, чем в плохую (то есть минимальной будет стоимость портфеля при плохой погоде):

Минимальная (из двух типов погоды) стоимость портфеля Кузьмы составит

Кузьма стремится, чтобы значение этого выражения было максимально, выбирая и удовлетворяющие условиям (Значение затем определяется автоматически из условия )

Зафиксируем и найдем оптимальное при каждом Как видно из формулы (4.1), Кузьме нужно выбирать самое маленькое при и самое большое при Так или иначе, решением будет то есть ему нужно сделать так, чтобы стоимость портфеля была одинакова независимо от погоды. Тогда стоимость активов будет равна

Видно, что эта функция возрастает по то есть оптимальным будет максимальное значение удовлетворяющие условию откуда

Итак, Кузьма должен вложить 500 тыс. руб. в акции компании А и 1 млн руб. в акции компании В. (Также ответ можно дать в виде количества акций: нужно купить 50 тыс. акций компании и 100 тыс. акций компании B.) Стоимость портфеля через год при этом будет равна млн руб. независимо от погоды.

Примечание. Как мы видим, оптимальной в данном случае является покупка акций обеих компаний. Это явление получило название диверсификация портфеля или хеджирование рисков. Действительно, если доходность двух акций находится «в противофазе» (экономисты говорят в этом случае об «отрицательной корреляции»), покупка акций второго типа является страховкой от убытков по акциям первого типа, и наоборот.
Это примечание носит информационный характер и не должно требоваться при проверке работ. Тем не менее, если участник, не решая задачу численно, опишет идею диверсификации (то есть сделает вывод, что инвестиции нужно делить между и ), то за весь пункт ставится не более 5 баллов в зависимости от четкости обоснования.
в) Если Кузьма не платит Гидрометцентру, то, как мы нашли в б), при использовании острожной стратегии он получает 1,7 млн. Рассматривая возможность заплатить гидрометцентру, при осторожной стратегии он должен исходить из плохого прогноза, поскольку там доходность меньше он будет согласен заплатить если даже в худшем случае стоимость его портфеля не уменьшится по сравнению с пунктом б). Если он заплатит сумму то при плохом прогнозе вложит в акции компании млн руб. Стоимость его активов в конце, таким образом, составит

Чтобы заплатить Гидрометцентру было выгодно, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

Отсюда млн руб.