Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.11 Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17743

Объём куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть длина ребра куба равна $a,$ объем куба равен $V.$ Тогда имеем:

3 V = a a3 = 8 a = 2

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней. Площадь каждой из шести граней куба равна

2 Sг = a = 4

Тогда площадь $S$ поверхности равна

2 S = 6Sг = 6a = 6⋅4= 24

Ответ: 24

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17749

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в три раза?

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть длина ребра куба равна $a$ . Тогда его объём равен $V1 = a3$ . Если каждое ребро увеличили в 3 раза, то объём стал равен

V2 = (3a)3 = 27a3 = 27V1

Значит, объём увеличился в 27 раз.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17752

Объем куба равен $√ - 24 3.$ Найдите его диагональ.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что объем куба равен $3 V = a ,$ где $a$ — длина ребра, а диагональ куба $d$ равна

∘ ---------- √- d = a2+ a2+ a2 = a 3.

По условию $√- V = 24 3.$ Тогда

3 ( √-)3 3 √ - √ - √- √ - 3 √3-- d = a 3 = a ⋅3 3= V ⋅3 3= 24 3 ⋅3 3= 216= 6 ⇒ d= 63 = 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#581

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ точки $A2$ и $B2$ – середины соответственно сторон $AA1$ и $BB1$ . Найдите площадь поверхности фигуры $ABCDA2B2C1D1$ , если ребро куба равно $∘ -------√--- 32 − 4 5$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь поверхности фигуры $ABCDA2B2C1D1$ состоит из суммы следующих площадей:

Sпов. = SAA2D1D + SBB2C1C + SDD1C1C + SAA2B2B + SABCD + SA2B2C1D1.

Обозначим ребро куба за $2x$ , тогда $AA2 = BB2 = x$ . $AA2D1D$ и $BB2C1C$ – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна

SAA D D = SBB CC = 1-⋅ (AA2 + DD1 ) ⋅ AD = (x-+-2x)-⋅ 2x-= 3x2. 2 1 2 1 2 2

Также найдем площади остальных граней: $S = 4x2 DD1C1C$ , $S = 2x2 AA2B2B$ , $S = 4x2 ABCD$ ; для того чтобы найти площадь грани $A2B2C1D1$ нам понадобится сначала найти сторону $A2D1$ . Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике $△A2A1D1$ :

2 2 2 2 2 2 A2D 1 = A2A 1 + A1D 1 = x + 4x = 5x

$⇒$ $√ -- A2D1 = 5x$ . Тогда $√ -- 2 SA2B2C1D1 = A2B2 ⋅ A2D1 = 2 5x$ . Теперь сложим все площади граней искомой фигуры:

2 2 2 2 2 √ --2 √ -- 2 Sпов. = 3x + 3x + 4x + 2x + 4x + 2 5x = (16 + 2 5) ⋅ x .

По условию задачи имеем: $2x = ∘32--−--4√5-= 2 ⋅ ∘8-−-√5--$ $⇒$ $x = ∘8 -−--√5-$ . Подставим в формулу площади и получим окончательный результат:

( ∘ -------)2 √ -- √ -- √ -- √ -- S пов. = (16 + 2 5) ⋅ 8 − 5 = 2 ⋅ (8 + 5) ⋅ (8 − 5) = 2 ⋅ 59 = 118.

Ответ: 118

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#585

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ : точки $M$ , $N$ , $L$ , $K$ лежат соответственно на ребрах $AA1$ , $DD1$ , $D1C1$ и $A1B1$ , причем $A1M : M A = D1N : N D = 3 : 2$ , $A1K : KB1 = D1L : LC1 = 4 : 1$ . Найдите площадь $KLN M$ , если $AB = 3$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

$3 3 A1M = -AA1 = -DD1 = D1N 5 5$ ; $A1M ||D1N$ , т.к. $AA1 ||DD1$ $⇒$ $M A1D1N$ – параллелограмм $⇒$ $M N ||A1D1$ , $M N = A1D1$ . Аналогичным образом получается, что $KL ||A1D1$ и $KL = A1D1$ $⇒$ $KLN M$ – параллелограмм, а т.к. $A1D1$ перпендикулярна граням $AA1B1B$ и $DD1C1C$ , то и $M N$ и $KL$ перпендикулярны этим же граням $⇒$ $KLN M$ – прямоугольник. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, найдем сперва сторону $M K$ из прямоугольного треугольника $△M A1K$ , используя теорему Пифагора.

4 4 12 3 3 9 A1K = -A1B1 = --AB = --,A1M = --AA1 = -AB = --, 5 5 5 5 5 5

2 2 2 144- 81- 225- M K = A1M + A1K = 25 + 25 = 25 = 9

$⇒$ $M K = 3$ . Тогда площадь $KLN M$ : $SKLNM = M N ⋅ M K = 3 ⋅ 3 = 9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1890

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ . $A2$ – середина стороны $AA1$ , $D2$ – середина стороны $DD1$ , $√4-- AA1 = 5$ . Найдите площадь плоскости сечения, проходящей через точки $A2$ , $D2$ и $B1$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

$A2D2C1B1$ – фигура сечения куба. $A2D2$ – параллельна $AD$ и $A1D1$ , т.к. соединяет середины $AA1$ и $DD1$ , поэтому перпендикулярна граням $AA1B1B$ и $DD1C1C$ $⇒$ перпендикулярна $A2B1$ и $D C 2 1$ . $B C ||A D 1 1 1 1$ $⇒$ $B C ||A D 1 1 2 2$ $⇒$ $A D C B 2 2 1 1$ – прямоугольник.

√-- 1 4√5-- A2D2 = AD = AA1 = 45, A2A1 = -AA1 = ---; 2 2

$A2B1$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $△A2A1B1$ :

√ -- √ -- 2 2 2 √ -- --5- 5--5- A2B 1 = A2A 1 + A1B 1 = 5 + 4 = 4

$⇒$ $√ -4√ -- A B = --5--5- 2 1 2$ . Найдем площадь фигуры сечения:

√ --√-- 4√-- 5 45 5 Sфиг.сеч. = A2D2 ⋅ A2B1 = 5 ⋅-------= --= 2,5. 2 2

Ответ: 2,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2421

Число, соответствующее количеству кубических сантиметров объема куба, совпадает с числом, соответствующим количеству квадратных сантиметров площади поверхности куба. Найдите объем куба, выраженный в кубических миллиметрах.

Показать ответ и решение

Если ребро куба обозначить за $x$ , то $V = x3$ . Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней. Все грани между собой равны и являются квадратами. Таких граней в кубе будет $6$ . Тогда $S пов. = 6x2$ . Согласно условию задачи: $x3 = 6x2$ $⇒$ $x = 6$ . Тогда

3 3 3 V = 6 = 216 см = 216000 мм .

Ответ: 216000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#20860

Через диагонали противоположных боковых граней куба провели плоскость. Найдите объём куба, если площадь полученного сечения равна $√- 16 2$ .

Показать ответ и решение

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ провели диагонали $AB1$ и $DC1$ противоположных граней $AA1B1B$ и $DD1C1C.$ По условию площадь сечения $AB1C1D$ равна $√ - 16 2.$

$PIC$

Если сторона куба равна $a,$ то диагональ любой грани равна $√- a 2.$ Значит, площадь сечения равна

√- √- √ - AD ⋅AB1 = 16 2 ⇔ a2 2 = 16 2 ⇔a>0 a= 4

Тогда объем куба равен

V =a3 = 43 = 64

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22192

Плоскость проходит через середины двух рёбер куба с общей вершиной параллельно третьему ребру, выходящему из той же вершины. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба этой плоскостью, равен 11. Найдите объём куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — длина ребра куба. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого составляют половину от $a.$ Тогда объём призмы равен

1 ( 1 )2 1 V =Sh = 2 ⋅ 2 a ⋅a= 8 a3

Так это в 8 раз меньше объёма куба $a3,$ то объём куба равен

11⋅8 =88

Ответ: 88

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37901

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 4. Найдите объём куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 1 1 1 SFEC = 4SDCB = 2 ⋅4SABCD = 8SABCD

Следовательно,

Vкуб = SABCD ⋅CC1 = 8SFEC ⋅CC1 = 8VFECF1E1C1 = 8 ⋅4 = 32

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40598

Объём куба равен 24. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объем треугольной призмы вычисляется по формуле

V = Sосн.⋅h,

где $Sосн.$ — площадь основания, $h$ — высота, проведенная к основанию.

В треугольной призме $CEF C1E1F1$ высота, проведенная к основанию $CEF$ совпадает с ребром куба $CC1.$

Так как $FE$ — средняя линия $△CBD,$ то она отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $1 2,$ то есть $△ CEF ∼△CBD$ с коэффициентом подобия $1 2.$

Так как отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате, то

( )2 SCEF-= 1 = 1 SCBD 2 4

$S = 1S , CBD 2 ABCD$ поэтому

SCEF = 1SCBD = 1 ⋅ 1SABCD = 1SABCD 4 4 2 8

Найдем объем куба и объем призмы:

Vкуба = CC1 ⋅CB ⋅AB = CC1 ⋅SABCD Vпризмы = CC1 ⋅SCEF

Найдем отношение объемов призмы и куба:

Vпризмы CC1 ⋅SCEF SCEF 1 -Vкуба-= CC1-⋅SABCD-= SABCD- = 8

Тогда объем призмы равен

1 1 Vпризмы = 8Vкуба = 8 ⋅24= 3

Ответ: 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47854

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ найдите угол между прямыми $BD$ и $A1D1.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Прямые $BD$ и $A1D1$ — скрещивающиеся. Значит, вместо прямой $A1D1$ мы можем рассмотреть параллельную ей прямую $AD.$

Грани куба — квадраты, тогда искомый угол — это угол между стороной $AD$ и диагональю $BD$ квадрата $ABCD,$ значит, он равен $∘ 45.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#57728

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ найдите угол между прямыми $CD1$ и $BC1.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AD1 ∥ BC1,$ то $∠(BC1,CD1 )= ∠(AD1,CD1 )= ∠AD1C.$ Рассмотрим $△AD1C.$ Его стороны — диагонали одинаковых квадратов, следовательно, этот треугольник равносторонний. Значит, все его углы равны по $∘ 60 ,$ то есть $∠AD1C = 60∘.$