00 Задачи №25 из банка ФИПИ для д/з
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника
Источники:
Способ 1.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Рассмотрим треугольник
- 1.
так как 
по условию, следовательно,
— высота в треугольнике 
- 2.
так как 
— биссектриса 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
— биссектриса и высота, следовательно,
треугольник 
— равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника 
— медиана треугольника 
Тогда
В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
боковые стороны
равны. Тогда
так как 
— медиана треугольника 
— биссектриса в 
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану 
на её длину. Пусть точка 
— полученная точка. Тогда
Четырёхугольник 
— параллелограмм, так как
его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
Следовательно, 
как накрест лежащие при параллельных прямых
и 
и секущей 
поэтому
Тогда 
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как 
по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим треугольник 
Следовательно, 
—
прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Следовательно,
— прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Найдём стороны треугольника 
Способ 2.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
— биссектриса и 
следовательно, треугольник 
— равнобедренный с основанием 
то есть
Так как 
— равнобедренный и 
— биссектриса, проведённая к
основанию, то 
также является медианой. То есть 
Поэтому
— биссектриса в треугольнике 
По свойству биссектрисы
Пусть 
тогда 
По теореме Менелая для 
и его секущей 
следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Таким образом, 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника
Источники:
Способ 1.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Рассмотрим треугольник
- 1.
так как 
по условию, следовательно,
— высота в треугольнике 
- 2.
так как 
— биссектриса 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
— биссектриса и высота, следовательно,
треугольник 
— равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника 
— медиана треугольника 
Тогда
В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
боковые стороны
равны. Тогда
так как 
— медиана треугольника 
— биссектриса в 
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану 
на её длину. Пусть точка 
— полученная точка. Тогда
Четырёхугольник 
— параллелограмм, так как
его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
Следовательно, 
как накрест лежащие при параллельных прямых
и 
и секущей 
поэтому 
Тогда
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как 
по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим треугольник 
Следовательно, 
—
прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Следовательно,
— прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Найдём стороны треугольника 
Способ 2.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
— биссектриса и 
следовательно, треугольник 
— равнобедренный с основанием 
то есть
Так как 
— равнобедренный и 
— биссектриса, проведённая к
основанию, то 
также является медианой. То есть 
Поэтому
— биссектриса в треугольнике 
По свойству биссектрис
Пусть 
тогда 
По теореме Менелая для 
и его секущей 
следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Таким образом, 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника
Источники:
Способ 1.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Рассмотрим треугольник
- 1.
так как 
по условию, следовательно,
— высота в треугольнике 
- 2.
так как 
— биссектриса 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
— биссектриса и высота, следовательно,
треугольник 
— равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника 
— медиана треугольника 
Тогда
В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
боковые стороны
равны. Тогда
так как 
— медиана треугольника 
— биссектриса в 
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану 
на её длину. Пусть точка 
— полученная точка. Тогда
Четырёхугольник 
— параллелограмм, так как
его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
Следовательно, 
как накрест лежащие при параллельных прямых
и 
и секущей 
поэтому 
Тогда
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как 
по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим треугольник 
Следовательно, 
—
прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Следовательно,
— прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Найдём стороны треугольника 
Способ 2.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
— биссектриса и 
следовательно, треугольник 
— равнобедренный с основанием 
то есть
Так как 
— равнобедренный и 
— биссектриса, проведённая к
основанию, то 
также является медианой. То есть 
Поэтому
— биссектриса в треугольнике 
По свойству биссектрис
Пусть 
тогда 
По теореме Менелая для 
и его секущей 
следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Таким образом, 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника
Источники:
Способ 1.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Рассмотрим треугольник
- 1.
так как 
по условию, следовательно,
— высота в треугольнике 
- 2.
так как 
— биссектриса 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
— биссектриса и высота, следовательно,
треугольник 
— равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника 
— медиана треугольника 
Тогда
В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
боковые стороны
равны.Тогда
так как 
— медиана треугольника 
— биссектриса в 
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану 
на её длину. Пусть точка 
— полученная точка. Тогда
Четырёхугольник 
— параллелограмм, так как
его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
Следовательно, 
как накрест лежащие при параллельных прямых
и 
и секущей 
поэтому 
Тогда
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как 
по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим треугольник 
Следовательно, 
—
прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Следовательно,
— прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Найдём стороны треугольника 
Способ 2.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
— биссектриса и 
следовательно, треугольник 
— равнобедренный с основанием 
то есть
Так как 
— равнобедренный и 
— биссектриса, проведённая к
основанию, то 
также является медианой. То есть 
Поэтому
— биссектриса в треугольнике 
По свойству биссектрис
Пусть 
тогда 
По теореме Менелая для 
и его секущей 
следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Таким образом, 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника
Источники:
Способ 1.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Рассмотрим треугольник
- 1.
так как 
по условию, следовательно,
— высота в треугольнике 
- 2.
так как 
— биссектриса 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
— биссектриса и высота, следовательно,
треугольник 
— равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника 
— медиана треугольника 
Тогда
В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
боковые стороны
равны. Тогда
так как 
— медиана треугольника 
— биссектриса в 
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану 
на её длину. Пусть точка 
— полученная точка. Тогда
Четырёхугольник 
— параллелограмм, так как
его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
Следовательно, 
как накрест лежащие при параллельных прямых
и 
и секущей 
поэтому 
Тогда
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как 
по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим треугольник 
Следовательно, 
—
прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Следовательно,
— прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Найдём стороны треугольника 
Способ 2.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
— биссектриса и 
следовательно, треугольник 
— равнобедренный с основанием 
то есть
Так как 
— равнобедренный и 
— биссектриса, проведённая к
основанию, то 
также является медианой. То есть 
Поэтому
— биссектриса в треугольнике 
По свойству биссектрис
Пусть 
тогда 
По теореме Менелая для 
и его секущей 
следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Таким образом, 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
биссектриса 
и медиана 
перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника
Источники:
Способ 1.
Обозначим точку пересечения 
и 
за 
Рассмотрим треугольник
- 1.
так как 
по условию, следовательно,
— высота в треугольнике 
- 2.
так как 
— биссектриса 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
— биссектриса и высота, следовательно,
треугольник 
— равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника 
— медиана треугольника 
Тогда
В равнобедренном треугольнике 
с основанием 
боковые стороны
равны. Тогда
так как 
— медиана треугольника 
— биссектриса в 
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану 
на её длину. Пусть точка 
— полученная точка. Тогда
Четырёхугольник 
— параллелограмм, так как
его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, 
Следовательно, 
как накрест лежащие при параллельных прямых
и 
и секущей 
поэтому 
Тогда
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как 
по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Следовательно,
Рассмотрим треугольник 
Следовательно, 
—
прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Следовательно,
— прямоугольный. По теореме Пифагора
значит,
Найдём стороны треугольника 
Способ 2.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
— биссектриса и 
следовательно, треугольник 
— равнобедренный с основанием 
то есть
Так как 
— равнобедренный и 
— биссектриса, проведённая к
основанию, то 
также является медианой. То есть 
Поэтому
— биссектриса в треугольнике 
По свойству биссектрис
Пусть 
тогда 
По теореме Менелая для 
и его секущей 
следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Следовательно,
в треугольнике 
, поэтому треугольник 
— прямоугольный.
По теореме Пифагора
значит,
Таким образом, 
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
Найдите площадь параллелограмма, если 
а расстояние от точки 
до
стороны 
равно 6.
Источники:
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
По условию
расстояние от точки 
до стороны 
равно 6, то есть 
Проведем высоту параллелограмма 
к стороне 
проходящую через
точку 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Значит,
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
Найдите площадь параллелограмма, если 
а расстояние от точки 
до
стороны 
равно 4.
Источники:
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
По условию
расстояние от точки 
до стороны 
равно 4, то есть 
Проведем высоту параллелограмма 
к стороне 
проходящую через
точку 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Значит,
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
Найдите площадь параллелограмма, если 
а расстояние от точки 
до
стороны 
равно 1.
Источники:
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
По условию
расстояние от точки 
до стороны 
равно 1, то есть 
Проведем высоту параллелограмма 
к стороне 
проходящую через
точку 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Значит,
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
Найдите площадь параллелограмма, если 
а расстояние от точки 
до
стороны 
равно 10.
Источники:
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
По условию
расстояние от точки 
до стороны 
равно 10, то есть 
Проведем высоту параллелограмма 
к стороне 
проходящую через
точку 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Значит,
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
Найдите площадь параллелограмма, если 
а расстояние от точки 
до
стороны 
равно 10.
Источники:
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
По условию
расстояние от точки 
до стороны 
равно 10, то есть 
Проведем высоту параллелограмма 
к стороне 
проходящую через
точку 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Значит,
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектрисы углов 
и 
параллелограмма 
пересекаются в точке 
Найдите площадь параллелограмма, если 
а расстояние от точки 
до
стороны 
равно 3.
Источники:
Опустим из точки 
перпендикуляр 
на сторону 
По условию
расстояние от точки 
до стороны 
равно 3, то есть 
Проведем высоту параллелограмма 
к стороне 
проходящую через
точку 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
так как 
и 
следовательно, треугольники 
и
— прямоугольные.
В прямоугольных треугольниках 
и 
равны углы 
и
так как 
— биссектриса угла 
, гипотенуза 
— общая.
Поэтому прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу. Следовательно, 
Значит,
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к нему, поэтому
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны соответственно 6 и 10, а основание 
равно 1. Биссектриса угла
проходит через середину стороны 
Найдите площадь трапеции.
Источники:
Обозначим середину 
за точку 
Тогда 
Пусть 
пересекает прямую 
в точке 
Рассмотрим треугольники 
и 
как накрест
лежащие при 
и секущей 
как вертикальные.
Тогда треугольники 
и 
равны по двум углам и стороне между
ними.
Так как 
то 
как накрест лежащие при 
и секущей 
Так как 
— биссектриса 
то
Значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Из равенства треугольников 
и 
как соответственные
элементы. Тогда
Проведём прямую 
параллельную прямой 
Так как 
то 
— параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма
Следовательно,
По теореме Пифагора для треугольника 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
— прямоугольный,
Тогда чертеж имеет вид:
Значит, 
— высота трапеции 
Найдём площадь трапеции:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны соответственно 40 и 41, а
основание 
равно 16. Биссектриса угла 
проходит через середину
стороны 
Найдите площадь трапеции.
Источники:
Обозначим середину 
за точку 
Тогда 
Пусть 
пересекает прямую 
в точке 
Рассмотрим треугольники 
и 
как накрест
лежащие при 
и секущей 
как вертикальные.
Тогда треугольники 
и 
равны по двум углам и стороне между
ними.
Так как 
то 
как накрест лежащие при 
и секущей 
Так как 
— биссектриса 
то
Значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Из равенства треугольников 
и 
как соответственные
элементы. Тогда
Проведём прямую 
параллельную прямой 
Так как 
то 
— параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма
Следовательно,
По теореме Пифагора для треугольника 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
— прямоугольный,
Тогда чертеж имеет вид:
Значит, 
— высота трапеции 
Найдём площадь трапеции:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны соответственно 20 и 29, а
основание 
равно 4. Биссектриса угла 
проходит через середину стороны
Найдите площадь трапеции.
Источники:
Обозначим середину 
за точку 
Тогда 
Пусть 
пересекает прямую 
в точке 
Рассмотрим треугольники 
и 
как накрест
лежащие при 
и секущей 
как вертикальные.
Тогда треугольники 
и 
равны по двум углам и стороне между
ними.
Так как 
то 
как накрест лежащие при 
и секущей 
Так как 
— биссектриса 
то
Значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Из равенства треугольников 
и 
как соответственные
элементы. Тогда
Проведём прямую 
параллельную прямой 
Так как 
то 
— параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма
Следовательно,
По теореме Пифагора для треугольника 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
— прямоугольный,
Тогда чертеж имеет вид:
Значит, 
— высота трапеции 
Найдём площадь трапеции:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны соответственно 28 и 35, а
основание 
равно 7. Биссектриса угла 
проходит через середину стороны
Найдите площадь трапеции.
Источники:
Обозначим середину 
за точку 
Тогда 
Пусть 
пересекает прямую 
в точке 
Рассмотрим треугольники 
и 
как накрест
лежащие при 
и секущей 
как вертикальные.
Тогда треугольники 
и 
равны по двум углам и стороне между
ними.
Так как 
то 
как накрест лежащие при 
и секущей 
Так как 
— биссектриса 
то
Значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Из равенства треугольников 
и 
как соответственные
элементы. Тогда
Проведём прямую 
параллельную прямой 
Так как 
то 
— параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма
Следовательно,
По теореме Пифагора для треугольника 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
— прямоугольный,
Тогда чертеж имеет вид:
Значит, 
— высота трапеции 
Найдём площадь трапеции:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые стороны 
и 
трапеции 
равны соответственно 4 и 5, а
основание 
равно 1. Биссектриса угла 
проходит через середину стороны
Найдите площадь трапеции.
Источники:
Обозначим середину 
за точку 
Тогда 
Пусть 
пересекает прямую 
в точке 
Рассмотрим треугольники 
и 
как накрест
лежащие при 
и секущей 
как вертикальные.
Тогда треугольники 
и 
равны по двум углам и стороне между
ними.
Так как 
то 
как накрест лежащие при 
и секущей 
Так как 
— биссектриса 
то
Значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Из равенства треугольников 
и 
как соответственные
элементы. Тогда
Проведём прямую 
параллельную прямой 
Так как 
то 
— параллелограмм. Значит, по свойству параллелограмма
Следовательно,
По теореме Пифагора для треугольника 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
— прямоугольный,
Тогда чертеж имеет вид:
Значит, 
— высота трапеции 
Найдём площадь трапеции:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы при одном из оснований трапеции равны 
и 
а отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите
основания трапеции.
Источники:
Способ 1.
Пусть в трапеции 
угол 
равен 
а 
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
точка 
— середина
точка 
— середина 
По замечательному свойству трапеции точки 
лежат на одной
прямой.
Пусть 
Тогда Тогда
Рассмотрим треугольник 
По теореме о сумме углов треугольника
Значит,
Тогда треугольник 
— прямоугольный. Тогда треугольник 
тоже
прямоугольный.
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
Значит,
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна
По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2, поэтому
Способ 2.
Пусть в трапеции 
угол 
равен 
а 
Пусть 
— середина 
точка 
— середина 
Пусть 
тогда
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, так как 
как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, так как 
как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма
Значит,
как соответственные углы при 
и секущей
как соответственные углы при 
и секущей
Рассмотрим треугольник 
По теореме о сумме углов треугольника
Значит,
Тогда треугольник 
— прямоугольный.
В треугольнике 
— медиана, проведённая из вершины прямого
угла, поэтому
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна
Значит,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы при одном из оснований трапеции равны 
и 
а отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13.
Найдите основания трапеции.
Источники:
Способ 1.
Пусть в трапеции 
угол 
равен 
а 
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
точка 
— середина
точка 
— середина 
По замечательному свойству трапеции точки 
лежат на одной
прямой.
Пусть 
Тогда
Рассмотрим треугольник 
По теореме о сумме углов треугольника
Значит,
Тогда треугольник 
— прямоугольный. Тогда треугольник 
тоже
прямоугольный.
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
Значит,
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна
По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13, поэтому
Способ 2.
Пусть в трапеции 
угол 
равен 
а 
Пусть 
— середина 
точка 
— середина 
Пусть 
тогда
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, так как 
как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, так как 
как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма
Значит,
как соответственные углы при 
и секущей
как соответственные углы при 
и секущей
Рассмотрим треугольник 
По теореме о сумме углов треугольника
Значит,
Тогда треугольник 
— прямоугольный.
В треугольнике 
— медиана, проведённая из вершины прямого
угла, поэтому
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия, она равна
Значит,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы при одном из оснований трапеции равны 
и 
а отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14.
Найдите основания трапеции.
Источники:
Способ 1.
Пусть в трапеции 
угол 
равен 
а угол 
равен
Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
точка 
— середина
точка 
— середина 
По замечательному свойству трапеции точки 
лежат на одной
прямой.
Пусть 
Тогда
Рассмотрим треугольник 
По теореме о сумме углов треугольника
Значит,
Тогда треугольник 
— прямоугольный. Тогда треугольник 
тоже
прямоугольный.
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
Значит,
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то её длина равна
По условию отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14, поэтому
Способ 2.
Пусть в трапеции 
угол 
равен 
а угол 
равен
Пусть 
— середина 
точка 
— середина 
Пусть 
тогда
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, так как 
как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, так как 
как основания трапеции. Тогда по свойству параллелограмма
Значит,
как соответственные углы при 
и секущей
как соответственные углы при 
и секущей
Рассмотрим треугольник 
По теореме о сумме углов треугольника
Значит,
Тогда треугольник 
— прямоугольный.
В треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая из вершины
прямого угла, поэтому
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон 
и 
— средняя линия,
она равна
Таким образом,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
