Геометрия масс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть в правильном треугольнике 
точка 
— центр. На стороне 
взята точка 
Докажите, что отрезок,
образованный основаниями перпендикуляров, опущенных из точки 
на стороны 
и 
делится отрезком 
пополам.
Подсказка 1
Для начала обозначим основания перпендикуляров — точки P и Q. Пусть AP = x, BQ = y. Давайте найдём какую-то систему материальных точек, для которой середина PQ — центр масс.
Подсказка 2
Ага, эта система — это (A, x+2y), (B, x+y), (C, 2x+y). Докажем, что он совпадает с центром масс системы O(3x+2y), K(x+y).
Подсказка 3
Доказав это, останется лишь доказать, что K — центр масс системы O(3x+2y), K(x+y). Для этого попробуйте понять, центром масс каких систем является середина PQ, помимо перечисленных.
Обозначим основания перпендикуляров из 
на 
и 
за 
и 
длины отрезков 
Рассмотрим систему
материальных точек 
Выходит центр масс системы совпадает с центром масс системы
тогда поскольку выполняются соотношения 
и 
точки
и 
на отрезках 
и 
являются центрами масс пар точек 
и 
Отсюда центр масс исходной
системы совпадает с центром масс 
а значит, центром масс системы является середина отрезка 
Итак,
вернёмся к исходной системе материальных точек, 
её центр масс совпадает с центром масс
Центром масс 
из симметрии является точка 
а центром масс
в силу истинности соотношения 
является точка 
Так центр масс исходной системы совпадает с центром масс
системы 
а значит, центр масс, то есть середина отрезка 
лежит на 
что и требовалось
доказать.
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
