Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Отбор Газпрома

Тема Газпром

Отбор Газпрома

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86449

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $91$ . Если к этим членам прибавить соответственно $25$ , $27$ и $1$ , то получатся три числа, в заданном порядке образующих арифметическую прогрессию. Найдите седьмой член данной геометрической прогрессии, если известно, что он больше $1$ .

Показать ответ и решение

Обозначим члены прогрессии за $b i$ , знаменатель прогрессии за $q$ , тогда $b = bq 2 1$ , $b = bq2. 3 1$

По условию $a1 = b1 +25$ , $a2 = b2 +27$ , $a3 = b3+ 1$ — арифметическая прогрессия, это условие можно записать так:

2a2 = a1+ a3

2b q+ 54 =b + 25+b q2+ 1 1 1 1

Значит,

28= b1(q2− 2q+1)

Также по условию сумма членов геометрической прогрессии равна 91:

91 =b1(1+q+ q2)

Разделим это равенство на предпоследнее, получим:

2 13 = q2-+-q+1- 4 q − 2q+ 1

Из чего следует

13q2− 26q+ 13= 4q2 +4q+ 4

9q2− 30q+ 9= 0

Это квадратное уравнение имеет корни $3$ и $13$ . Тогда в первом случае

b1 =---91-2-= 7, 1+ 3+ 3

во втором случае

--91---- b1 = 1+ 13 + 19 = 63.

По условию $b7 > 1$ , поэтому подходит только

b7 = 7⋅36 =5103,

а

1 7 b7 = 63⋅(3)6 = 81

не подходит.

Ответ: 5103