Тема Газпром

Функции на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99206

Функция $f(x)$ удовлетворяет условию: для любых действительных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

(a+ 2b) f(a)+2f(b) f --3-- = ----3----.

Найти значение функции $f(2021)$ , если $f(1)=1,f(4)= 7.$

Источники: Газпром - 2022, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам ничего не остаётся, кроме как воспользоваться условием и попробовать найти значения функции в новых точках!

Подсказка 2

Несложно узнать значения в тройке и в двойке. А можно ли теперь выразить значение в двойке как-то иначе, например, через значение в тройке?

Подсказка 3

Здорово, теперь мы можем узнать значение в нуле! Осталось лишь составить некоторую цепочку равенств, чтобы можно было "спуститься" от значения в 2021 к значению в 3, при этом используя лишь знакомые нам "маленькие" значения ;)

Показать ответ и решение

Подставляя в заданное равенство пары чисел $a= 4,b =1$ и $a= 1,b=4,$ соответственно, получим:

- Если $a= 4,b= 1$ , то

( 4+ 2) f(4)+2f(1) 7 +2⋅1 f -3-- = ----3----;f(2) =---3-- =3.

- Если $a= 1,b= 4$ , то

( ) f 1+-2⋅4 = f(1)+2f(4);f(3) = 1-+2⋅7 =5. 3 3 3

Если взять $a =0,b= 3$ , получим

f( 0+-2⋅3)= f(0)+2f(3);f(2)= f(0)+2f(3). 3 3 3

Значит,

f(0)= 3f(2)− 2f(3)= 3⋅3− 2⋅5= −1.

Таким образом, имеем $f(0)= −1,f(1)= 1,f(2)= 3,f(3)=5,f(4)= 7$ . Составим цепочку равенств

( 2021+ 2⋅2) f(2021)+ 2f(2) f ---3-----= ------3-----= f(675), (675+-2⋅0) f(675)+-2f(0) f 3 = 3 = f(225) (225+-2⋅0) f(225)+-2f(0) f 3 = 3 = f(75) f(75+-2⋅0)= f(75)+2f(0) =f(25) ( 3 ) 3 f 25+-2⋅1 = f(25)+2f(1) =f(9) ( 3 ) 3 f 9+-2⋅0 = f(9)+2f(0)= f(3) 3 3

Вычисляя в обратном порядке, получим:

f(9)=3f(3)− 2f(0), т. е. f(9)= 3⋅5− 2⋅(− 1)= 17 f(25) =3f(9)− 2f(1), т. е. f(25)= 3⋅17 − 2⋅1= 49 f(75)= 3f(25)− 2f(0), т. е. f(75)=3⋅49− 2⋅(− 1)=149 f(225)= 3f(75)− 2f(0), т. е. f(225)= 3⋅149− 2⋅(−1)= 449 f(675)= 3f(225)− 2f(0), т. е. f(675)= 3⋅449− 2⋅(−1)= 1349 f(2021)= 3f(675)− 2f(2), т. е. f(2021)= 3⋅1349− 2 ⋅3 =4041.

Ответ:

$4041$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#106012

Функция $f(x)$ удовлетворяет условию: для любых действительных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $f (a+2b) = f(a)+2f(b). 3 3$ Найти значение функции $f(2021),$ если $f(1)= 5,f(4)= 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Подсказка 3

Показать ответ и решение

Если $a =4,b= 1$ , то

(4+ 2) f(4)+ 2f(1) 2+2 ⋅5 f --3- = ----3----,f(2)= --3---= 4

Если $a= 1,b= 4$ , то

( ) f 1+-2⋅4 = f(1)+-2f(4),f(3)= 5+2-⋅2-= 3 3 3 3

Если взять $a =0,b= 3$ , получнм

( ) f 0+-2⋅3 = f(0)+2f(3),f(2)= f(0)+-2f(3) 3 3 3

Значит,

f(0)= 3f(2)− 2f(3)= 3⋅4− 2 ⋅3 =6

Таким образом, имеем $f(0)= 6,f(1)= 5,f(2)=4,f(3)= 3,f(4)= 2$ . Составим цепочку равенств

( 2021+-2⋅2) f(2021)+-2f(2) f 3 = 3 = f(675), ( 675+-2⋅0) f(675)+2f(0)- f 3 = 3 =f(225), ( 225+-2⋅0) f(225)+2f(0)- f 3 = 3 =f(75), f( 75-+2⋅0) = f(75)+-2f(0)= f(25), ( 3 ) 3 f 25-+2⋅1- = f(25)+-2f(1)= f(9), ( 3 ) 3 f 9+2⋅0- = f(9)+-2f(0)= f(3). 3 3

Вычисляя в обратном порядке, получим:

f(9)= 3f(3)− 2f(0), т.е. f(9)= 3⋅3− 2 ⋅6 =− 3; f(25)= 3f(9)− 2f(1), т.e. f(25)=3⋅(−3)− 2⋅5= −19; f(75)= 3f(25)− 2f(0), т.e. f(75)= 3⋅(−19)− 2⋅6= −69; f(225)= 3f(75)− 2f(0), т.e. f(225)= 3⋅(− 69)− 2⋅6= −219; f(675)= 3f(225)− 2f(0), т.e. f(675)= 3⋅(−219)− 2 ⋅6 =− 669; f(2021)=3f(675)− 2f(2), т.e. f(2021)=3 ⋅(−669)− 2 ⋅4 =− 2015.

Ответ: -2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72121

Для функции $y = xe−x$ найти производную 2019-го порядка $(y(2019))$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

2019 - большое число, не будем же мы 2019 раз подряд искать производную ⇒ надо найти закономерность! А для этого можем найти несколько первых производных и доказать формулу

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на производные чётного порядка и нечётного: видите что-то похожее? Попробуйте вывести формулу для производной нечётного порядка - благодаря этому сможем посчитать 2019-ю производную!

Показать ответ и решение

$y′ = (1 − x)e− x$

$′′ −x y =(x− 2)e$

$′′′ −x y = (3− x)e$

И так далее, $(2k+1) −x y = (2k +1− x)e$

Ответ:

$(2019− x)e−x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#106009

Для функции $y = sin2x$ найти производную $2019$ -го порядка $(y(2019)).$

Источники: Газпром 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем найти первые несколько производных и выявить закономерность в их виде, чтобы получить общую формулу.

Подсказка 2

Желательно не оставлять в производных одновременно cos и sin, а использовать формулы приведения. Пусть у нас везде будет sin, тогда какой вид будет иметь аргумент? Не забываем учесть изменение знаков! Таким образом мы хотим прийти к формуле производной в общем виде.

Подсказка 3

Теперь хотим доказать верность полученной формулы. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Первое, что приходит в голову — доказать верность формулы по индукции!

Показать ответ и решение

После нахождения нескольких первых производных можно вывести общую формулу