Тема Газпром

Функции на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99206

Функция $f(x)$ удовлетворяет условию: для любых действительных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

(a+ 2b) f(a)+2f(b) f --3-- = ----3----.

Найти значение функции $f(2021)$ , если $f(1)=1,f(4)= 7.$

Источники: Газпром - 2022, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам ничего не остаётся, кроме как воспользоваться условием и попробовать найти значения функции в новых точках!

Подсказка 2

Несложно узнать значения в тройке и в двойке. А можно ли теперь выразить значение в двойке как-то иначе, например, через значение в тройке?

Подсказка 3

Здорово, теперь мы можем узнать значение в нуле! Осталось лишь составить некоторую цепочку равенств, чтобы можно было "спуститься" от значения в 2021 к значению в 3, при этом используя лишь знакомые нам "маленькие" значения ;)

Показать ответ и решение

Подставляя в заданное равенство пары чисел $a= 4,b =1$ и $a= 1,b=4,$ соответственно, получим:

- Если $a= 4,b= 1$ , то

( 4+ 2) f(4)+2f(1) 7 +2⋅1 f -3-- = ----3----;f(2) =---3-- =3.

- Если $a= 1,b= 4$ , то

( ) f 1+-2⋅4 = f(1)+2f(4);f(3) = 1-+2⋅7 =5. 3 3 3

Если взять $a =0,b= 3$ , получим

f( 0+-2⋅3)= f(0)+2f(3);f(2)= f(0)+2f(3). 3 3 3

Значит,

f(0)= 3f(2)− 2f(3)= 3⋅3− 2⋅5= −1.

Таким образом, имеем $f(0)= −1,f(1)= 1,f(2)= 3,f(3)=5,f(4)= 7$ . Составим цепочку равенств

( 2021+ 2⋅2) f(2021)+ 2f(2) f ---3-----= ------3-----= f(675), (675+-2⋅0) f(675)+-2f(0) f 3 = 3 = f(225) (225+-2⋅0) f(225)+-2f(0) f 3 = 3 = f(75) f(75+-2⋅0)= f(75)+2f(0) =f(25) ( 3 ) 3 f 25+-2⋅1 = f(25)+2f(1) =f(9) ( 3 ) 3 f 9+-2⋅0 = f(9)+2f(0)= f(3) 3 3

Вычисляя в обратном порядке, получим:

f(9)=3f(3)− 2f(0), т. е. f(9)= 3⋅5− 2⋅(− 1)= 17 f(25) =3f(9)− 2f(1), т. е. f(25)= 3⋅17 − 2⋅1= 49 f(75)= 3f(25)− 2f(0), т. е. f(75)=3⋅49− 2⋅(− 1)=149 f(225)= 3f(75)− 2f(0), т. е. f(225)= 3⋅149− 2⋅(−1)= 449 f(675)= 3f(225)− 2f(0), т. е. f(675)= 3⋅449− 2⋅(−1)= 1349 f(2021)= 3f(675)− 2f(2), т. е. f(2021)= 3⋅1349− 2 ⋅3 =4041.

Ответ:

$4041$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#72121

Для функции $y = xe−x$ найти производную 2019-го порядка $(y(2019))$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

2019 - большое число, не будем же мы 2019 раз подряд искать производную ⇒ надо найти закономерность! А для этого можем найти несколько первых производных и доказать формулу

Подсказка 2

Посмотрите внимательно на производные чётного порядка и нечётного: видите что-то похожее? Попробуйте вывести формулу для производной нечётного порядка - благодаря этому сможем посчитать 2019-ю производную!

Показать ответ и решение

$y′ = (1 − x)e− x$