Тема 2. Задачи на векторы

2.02 Задачи №2 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90754

Даны векторы $⃗a(5;3)$ и $⃗b(4;−6).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b =5 ⋅4+ 3⋅(− 6)= 20− 18= 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92095

Даны векторы $⃗a(5;−7)$ и $⃗b(14;1).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= 5⋅14+ (−7)⋅1= 70− 7 =63.

Ответ: 63

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99540

Даны векторы $⃗a(− 13;4)$ и $⃗b(−6;1).$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= − 13⋅(− 6)+ 4⋅1= 78+ 4= 82.

Ответ: 82

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99541

Даны векторы $⃗a(14;−2)$ и $⃗b(5;− 8).$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= 14⋅5 +(−2)⋅(−8)= 70+ 16= 86.

Ответ: 86

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99542

Даны векторы $⃗a(− 3;5)$ и $⃗b(1;13).$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно,

⃗ ⃗a⋅b= −3 ⋅1+ 5⋅13= −3+ 65 =62.

Ответ: 62

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99543

Даны векторы $⃗a(2;0)$ и $⃗b(1;4).$ Найдите длину вектора $⃗a +3⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a+ 3⃗b:$

⃗ ⃗a +3b= {2 +3 ⋅1;0+ 3⋅4} ={5;12}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘-2----2 √ -2- |⃗a+ 3b|= 5 +12 = 13 = 13.

Ответ: 13

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99547

Даны векторы $⃗a(1;1)$ и $⃗b(0;7).$ Найдите длину вектора $8⃗a +⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $8⃗a+ ⃗b:$

⃗ 8⃗a+ b= {8 ⋅1 +0;8⋅1 +7} ={8;15}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘-2----2 √ -2- |8⃗a+ b|= 8 +15 = 17 = 17.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#99549

Даны векторы $⃗a(31;0)$ и $⃗b(1;−1).$ Найдите длину вектора $⃗a− 24⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a− 24⃗b:$

⃗ ⃗a− 24b= {31− 24⋅1;0− 24⋅(− 1)} = {7;24}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘ -2----2 √--2 |⃗a− 24b|= 7 + 24 = 25 = 25.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#99552

Даны векторы $⃗a(25;0)$ и $⃗b(1;−5).$ Найдите длину вектора $⃗a− 4⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a− 4⃗b:$

⃗ ⃗a− 4b= {25− 4⋅1;0− 4⋅(−5)}= {21;20}.

Значит, его длина равна

|| ⃗|| ∘ --2----2 √--2 |⃗a− 4b|= 21 + 20 = 29 = 29.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89263

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $⃗a +3⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Тогда

⃗a +3⃗b ={2 +3 ⋅2;3+ 3⋅(−1)}= {8;0}.

Следовательно,

| | ||⃗a+ 3⃗b||= ∘82-+02-=8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#99559

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $⃗a +4⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Тогда

⃗a+ 4⃗b= {3+ 4⋅2;4+ 4⋅(−1)}= {11;0}.

Следовательно,

| | ||⃗a +4⃗b||= ∘112-+02-=11.

Ответ: 11

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#99560

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b =8 ⋅7+ 5⋅3= 56+ 15= 71.

Ответ: 71

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#99561

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 7⋅5+ 3⋅2 =35 +6 = 41.

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#99562

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Скалярное произведение векторов $⃗a (x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 2 ⋅2+ 3⋅(− 1)= 4− 3= 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#87687

Длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60∘.$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Мы знаем, что

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosφ,

где $φ$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Тогда

⃗a⋅⃗b= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ= =3 ⋅5⋅cos60∘ = 15= 7,5. 2

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#87688

Длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны 3 и 7, а угол между ними равен $60∘.$ Найдите скалярное произведение $⃗a ⋅⃗b.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Мы знаем, что

⃗ ⃗ ⃗a ⋅b = |⃗a|⋅|b|⋅cosφ,

где $φ$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Тогда

⃗a⋅⃗b= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ= = 3⋅7⋅cos60∘ = 21 = 10,5. 2

Ответ: 10,5