Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Алгебраические текстовые задачи на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68098

В Криптоландии в тире действуют следующие правила. Перед началом стрельбы стрелок приобретает 100 патронов. На мишени нарисованы три концентрические окружности радиусов 3, 6 и 12 сантиметров. За попадание в круг, ограниченный первой из них, даётся 3 очка и 4 дополнительных патрона. За попадание в кольцевую область между первой и второй окружностями даётся 2 очка и 3 дополнительных патрона. За попадание в зону между второй и третьей окружностями даётся одно очко и 2 дополнительных патрона. Если стрелок не попал в мишень, то ни очков, ни дополнительных патронов он не получает. Считаем, что в границы кругов стрелок не попадает. Стрельба заканчивается, когда у стрелка не остаётся ни одного патрона. Юра пошёл в тир и завершил стрельбу, допустив 2023 промаха. Сколько очков набрал Юра?

Источники: Межвед-2023, 11.6 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим кол-во выстрелов, за которые мы получили 1, 2 или 3 очка, за x, y и z соответственно. Тогда сколько всего выстрелов мы сделали?

Подсказка 2

2023 + x + y + z. А теперь попробуйте по-другому посчитать кол-во выстрелов, исходя из того, что за один из выстрелов мы получаем 3 дополнительных, за другой - 4, и за третий - 5, а в начале у нас было 100 патронов.

Подсказка 3

Еще поймите, что кол-во очков, набранных им - это x+2y+3z)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что за каждый неудачный выстрел стрелок просто теряет один патрон, а за каждый удачный выстрел получает патронов на один больше, чем очков, но при этом теряет один патрон за этот выстрел. Получается, что очков суммарно получено столько же, сколько получено дополнительных патронов.

Так как стрелок промахнулся 2023 раза, то он получил $2023− 100= 1923$ дополнительных патрона. Столько он получил и очков.

Второе решение.

Пусть $n1,n2,n3−$ числа выстрелов, результатом которых было получение $1,2$ и $3$ очков соответственно. Тогда общее число выстрелов $m$ равно:

m = 2023+ n1+ n2+ n3.

Каждый выстрел приносит такие очки: $0,1,2,3.$ При этом с каждым результатом связано определённое число выстрелов, а именно:

1.: Если был промах, то этот результат не даёт дополнительных выстрелов, и с ним связан единственный выстрел, который и дал промах.
2.: Если было получено одно очко, то с этим результатом связано $3$ выстрела, а именно, тот, который дал этот результат, и плюс два дополнительных премиальных.
3.: Если было получено $2$ очка, то с этим результатом связано $4$ выстрела: один — который дал результат, и $3$ премиальных.
4.: Если было получено $3$ очка, то с этим результатом связано $5$ выстрелов (аналогичные рассуждения: один исходный $+ 4$ премиальных).

Тогда рассмотрим сумму:

2023 ⋅1 +n1⋅3+ n2⋅4+ n3⋅5+100

Заметим, что в этой сумме каждый выстрел учтен ровно два раза, тогда:

2023⋅1+n1 ⋅3 +n2⋅4+ n3⋅5+ 100 =2⋅m

n1+ 2n2+ 3n3 =2023− 100= 1923.

Заметим, что это выражение - количество набранных Юрой очков.

Ответ: 1923

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98020

Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов: $A,B$ и $C$ . Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида $A$ содержится $10%$ раствор этого вещества, в пробирках $B$ — 20 % раствор и в C — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости $20,17%$ раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида $C$ может быть при этом использовано?

Показать ответ и решение

Пусть пробирок вида $A,B$ и $C$ взяли соответственно $a,b$ и $c$ штук. По условию

0,1a +0,2b+ 0,9c= 0,2017(a+ b+ c)⇔ 1000(a+ 2b+ 9c)= 2017(a+ b+c)

Левая часть последнего равенства делится на 1000, следовательно, на 1000 должна делиться и правая часть. Значит, наименьшее возможное значение суммы $a+ b+ c$ равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть докажем, что существуют неотрицательные целые числа $a,b$ и $c$ такие, что

(| a +b+ c= 1000 { a +2b+ 9c=2017 |( a ≤500,b≤500,c ≤500

Последние три неравенства служат необходимым и достаточным условиям того, что удастся избежать использования пробирок одного вида при двух последовательных переливаниях. Из первых двух уравнений системы находим

a =7c− 17,b= 1017 − 8c

Подставив эти выражения в последние три неравенства системы, получим

7c≤ 517,8c≥518,c ≤500

Отсюда наибольшее значение $c$ равно 73. Ему соответствующие значения $a= 7c− 17,b= 1017− 8c$ удовлетворяют неравенствам системы. Таким образом, разрешимость в неотрицательных целых числах системы доказана.

Ответ:

Наименьшее количество переливаний равно 1000. При этом могут быть использованы максимум 73 пробирки вида $C$ .

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания