Тема ЮМШ (олимпиада Юношеской Математической Школы)

Неравенства на ЮМШ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела юмш (олимпиада юношеской математической школы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98625

Пусть $x,y,z >0$ . Докажите следующее неравенство:

x2-+2y2+-2z2- y2-+2z2+-2x2 z2+-2x2+-2y2 x2+ yz + y2+ zx + z2+ xy >6.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В знаменателе присутствует удвоенное произведение переменных, а в числителе — квадраты. На какие замены или оценки это может намекать?

Подсказка 2

Воспользуемся неравенством о средних! Можем попробовать избравиться от удвоенных произведений.

Подсказка 3

Отлично, теперь у нас в знаменателе есть квадраты всех переменных. Было бы хорошо иметь одинаковые знаменатели, однако заменять их на меньшие и продолжать цепочку неравенств мы пока не можем. Вот если бы перед дробями был бы минус....

Подсказка 4

Выделите в каждой дроби целую часть и сделайте оценку. Нам было бы очень удобно привести дроби к похожему виду!

Показать доказательство

Первое решение.

Так как для любых чисел $x$ и $y$ верно $2 2 2xy ≤x + y ,$ то

x2+ 2y2+ 2z2 y2+ 2z2+2x2 z2+ 2x2+2y2 --2x2+-2yz-- +--2y2+-2zx-- +--2z2+-2xy-- ≥

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ x-+2-2y2+2z2 + y-+2-2z2+2x2 + z-+2-2x2+2y2-= 2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y

= 2− ---3x2----+ 2− ---3y2----+ 2− ---3z2----. 2x2 +y2+ z2 2y2+ z2+ x2 2z2+ x2+ y2

Так как по условию числа положительные, а для любого ненулевого числа $x$ верно $2 2 2x >x ,$ то

3x2 3y2 3z2 2− 2x2+-y2+z2 +2− 2y2+-z2-+x2 + 2− 2z2+-x2-+y2 >

2 2 2 2 2 2 > 2− -2-3x2--2 +2− -2-3y2--2 +2− -2--3z2--2 = 6− 3x-2+3y2-+-3z2--=3. x + y +z y + z +x z + x + y x + y +z

В итоге мы показали, что

x2-+2y2+-2z2-+ y2-+2z2+-2x2 + z2+-2x2+-2y2 >3, 2x2+ 2yz 2y2+ 2zx 2z2+ 2xy

поэтому

x2 +2y2+ 2z2 y2 +2z2+ 2x2 z2+ 2x2+ 2y2 --x2+-yz---+---y2+-zx-- +---z2+-xy-- >6.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Так как для любых чисел $x$ и $y$ верно $x2+y2 ≥ 2xy,$ то