Тема Ломоносов - задания по годам

Ломоносов 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70487Максимум баллов за задание: 7

Какое из чисел больше:

--3-- --5-- --87--- --89--- A= (1⋅2)2 + (2⋅3)2 + ...+ (43⋅44)2 + (44⋅45)2

или

∘6---√-- 3∘ √---- B = --4−-2-3√⋅---3+-1? 32

Источники: Ломоносов-2022, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

«Какой олимпиадник не любит длинных телескопов…». Действительно, то, что написано выше, это ведь очень похоже на стандартный телескоп с разложением на дроби вида 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1). Как тогда преобразовать наше равенство выше к дробям вида k/(n^2*(n+1)^2)?

Подсказка 2

Верно, это по сути две дроби, у которых разность между знаменателями равна 2n + 1. Значит, 1/n^2 - 1/(n+1)^2 = (2n+1)/(n^2*(n+1)^2). Заметим теперь, что это ровно дроби нашего вида. Чему тогда равна наша сумма-телескоп?

Подсказка 3

Верно, она равна 1/1^2 - 1/45^2 = 2024/2025. Значит, получили сумму в явном виде. Теперь посмотрим на дробь. Кажется, преобразовать можно только первое подкошенное выражение, так как все остальное выглядит слишком атомарно. При этом, у нас все, кроме первого корня имеет степень 1/3, а корено - степень 1/6. Значит, нам хотелось бы преобразовать подкоренное выражение в квадрат некоего числа, чтобы извлечь корень и занести все числа под кубический корень. Попробуйте преобразовать первый корень.

Подсказка 4

Верно, он преобразовывается в квадрат числа (sqrt(3) - 1). А значит, после нехитрых преобразований, получаем, что дробь равна 1. При этом, сумма наша равна 2024/2025. Ответ получен!

Показать ответ и решение

Так как

--2n+-1-- 1- ---1-- (n(n +1))2 = n2 − (n+ 1)2

Находим $A$

( ) ( ) ( ) ( ) A = 12 − 12 + -12 −-12 +...+ -12 −-12 + 12-−-12 = 12-− 12-= 1 2 2 3 43 44 44 45 1 45

= 452-− 1-= 2024 452 2025

Найдём $B$

6∘----√- ∘3√---- 6∘-√-----2 3∘√---- 3√---- B =--4−-2-33√⋅---3+-1 = -(-3−-1)3√-⋅---3+1-= -3√3− 1-=1 2 2 2

Получаем, что $A <B.$

Ответ: B

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70488Максимум баллов за задание: 7

Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?

Источники: Ломоносов-2022, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте, для начала поймем, какие двузначные числа делятся на 19 или 23. Это числа 19,38,57,76,95 и 23,46,69,92. Значит, если число начинается на 4, то за ним идет цифра 6, так как никакое другое число двузначное и делящееся на 19 или 23, не начинается с 4. А что будет идти после 6? А дальше? А можем обобщить?

Подсказка 2

По аналогичным соображениям, дальше будет идти цифра 9, а вот после нее либо 2, либо 5. Если идет 2, то дальше 3, после 8, а вот дальше ничего не может идти. Упс. Значит, после 9 может идти только 5. После него идёт 7, потом 6, потом 9, а потом, ого, опять 5! А что тогда это значит?

Подсказка 3

Верно, что наша последовательность цифр зациклилась! При этом, у неё предпериод равен 46, а период 9576. Значит, мы можем найти любое число этой последовательности. А значит, и 2022 тоже!

Показать ответ и решение

Двузначные числа, делящиеся на 19, — это 19, 38, 57, 76, 95. Двузначные числа, делящиеся на 23, — это $23,46,69,92.$ Так как первая цифра 4, то вторая цифра 6, третья 9, а четвертая 2 или 5. Если четвертая цифра 2, то продолжение: $2− 3− 8 −$ дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра 5, и продолжение: $5− 7− 6 − 9− 5− 7− 6$ и так далее. Тогда мы получаем почти периодическую последовательность: $4− 6− 9− 5− 7− 6− 9− 5− 7 − ...,$ в которой период равен 4. Тогда на 2022 месте будет цифра 6, так как $2022 =1+ 4⋅505+1.$ Выше было показано, что цифра 2 встретиться в начальных позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры 9 стоят $2 − 3− 8.$ Тогда последняя цифра числа 8.

Ответ: 6 или 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70489Максимум баллов за задание: 7

Есть функция

---1--- f(x)= √51-− x5

Вычислите

f(f(f(f(f(...f(2022))))...)),

где функция $f$ применяется 1303 раза.

Источники: Ломоносов - 2022, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот получили вы на Ломоносове такую вот первую задачу, думаете, что уже конец, но не стоит отчаиваться! Когда в некоторой задаче идет речь о некоторых итерациях(а взятие функции от функции, от функции и т.д. - это и есть итерация), то зачастую в такой вот последовательности есть либо инвариант, либо цикл. Циклом при этом может быть и вид функции, к примеру. Попробуйте сделать несколько итераций (то есть в явном виде написать, что такое f(f(x)), f(f(f(x))) и т.д.) и понять, чему это равно.

Подсказка 2

Верно, f(f(f(x))) = х, значит видим периодичность, с периодом 3. А значит, f_1033, где 1033 - кол-во итераций, равно f_1 = f(2022). А это мы можем найти.

Показать ответ и решение

Посмотрим, как будет меняться функция

---1--- f(x)= √51-− x5

∘----- f(f(x))= ∘--1-----= 51− -15 51 −1−1x5 x

∘--------- f(f(f(x)))= 51 − (1− x5)= x

f(f(f(f(x))))= f(x)

Видим периодичность, период $= 3.$ Остаток от деления 1303 на 3 равен 1, поэтому

f(f(f(f(f(...f(2022))))...))= f(2022)= 5√--1---5- 1− 2022

Ответ:

$-√--1---- 51− 20225$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70490Максимум баллов за задание: 7

Угол при вершине в осевом сечении конуса равен $60∘$ . Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.

Источники: Ломоносов-2022, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала рассмотрим расположение любого шара и конуса в плоскости, перпендикулярной рисунку.

Подсказка 2

У нас есть треугольник, которого касается окружность известного радиуса, вписанная во внешний угол при основании треугольника. Счёт за Вами... Напоминаем, окружность, вписанная в угол, лежит на его биссектрисе

Подсказка 3

Теперь давайте поймем как расположены все шары снаружи. Они касаются друг друга, поверхности конуса и плоскости его основания, причем все расположены на одинаковом расстоянии от центра основания конуса!

Подсказка 4

То есть точки касания шаров с плоскостью основания конуса являются вершина правильного 11-угольника со стороной, равной удвоенному радиусу шаров(так как они касаются друг друга и длина = 2 радиуса)...

Подсказка 5

Теперь нам известны расстояние от центра основания до точки касания шаров с плоскостью основания(радиус 11-угольника) и расстояние от этой точки касания до ближайшей вершины треугольника в плоскости рисунка, тогда искомый радиус основания = радиус 11-угольника - последнее расстояние

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $O$ — центр окружности основания конуса, радиуса $R,Q1$ - центр одного из шаров радиуса $3,H1$ — точка касания этого шара с плоскостью основания, $H2$ — точка касания соседнего шара с плоскостью основания конуса. Значит, из треугольника $AQ1H1$ можем получить

AH1 =--(-Q1H1-∘) = 3√--=√3 tg 45∘+ 302-- 3

$PIC$

Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного 11-угольника вписанного в окружность с центром в точке $O,$ радиуса $OH1$ и стороной, равной $2⋅3= 6.$ Поэтому

180∘- Q1H =OH1 sin 11 , где OH1 = R+ AH1

Q1H 3 √- R = sin180∘-− AH1 = sin-180∘− 3 11 11

Ответ:

$---3--− √3 sin 18101∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70491Максимум баллов за задание: 7

Если действительные числа $a,b,c$ упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку $x ≤x ≤ x , 1 2 3$ то число $x 2$ будем называться средним из чисел $a,b,c.$ Найдите все значения $t,$ при каждом из которых среднее из трёх чисел

3 t 1 a= t − 100t; b= 2− 16; c= sint− 2

положительно.

Источники: Ломоносов-2022, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Среднее из трёх чисел положительно, а числа заданы с параметром да еще и в виде функций... Сравнивать такие числа реально сложно, надо подумать, как можно переформулировать вопрос.

Подсказка 2

Если рассуждать в общем, то для того, чтобы среднее из трех чисел было положительно, среди них должно быть не менее двух положительных, иначе условие задачи не выполниться (два числа будут неположительными, а среднее по нестрогому возрастанию уж точно!)

Подсказка 3

То есть нам подойдут случаи, когда два или три числа положительны. Теперь поймем, когда же наши числа будут положительными = найдем нули функций и отметим их на вещественной прямой.

Подсказка 4

Сначала можно отметить нули чисел(функций) a и b, так как кол-во их нулей конечно, расставить знаки функций на каждом промежутке и заметить, что некоторые промежутки нам уже подходят, а некоторые - точно нет.

Подсказка 5

Осталось понять знаки числа(функции) с, это можно сделать только на уже потенциально подходящих нам промежутках, выписать их объединение в ответ.

Показать ответ и решение

Напрямую значения $a,b,c$ сравнивать сложно. Однако, чтобы среднее из трёх чисел было положительным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере два числа из тройки были положительны.

3 a= t − 100t= t(t− 10)(t+ 10)> 0⇒ t ∈(−10;0)∪ (10;+ ∞)

t b= 2 − 16> 0⇒ t> 4

( ) c= sint− 1> 0⇒ t∈ 2πn+ π;2πn+ 5π , где n ∈ℤ 2 6 6

Нужно, чтобы хотя бы два из трех чисел были положительны. $a> 0$ и $b> 0$ при $t> 10,$ область $(10;+∞ )$ идёт в ответ. $a≤ 0$ и $b≤ 0$ при $t∈(−∞;− 10]∪ [0;4],$ эта область в ответе быть не может. На оставшейся области $t∈ (− 10;0)∪(4;10]$ положительно только одно из чисел $a,b.$ Значит, в ответ пойдут те её части, где $c> 0.$ Посмотрим, как пересекаются

( π 5π ) t∈(−10;0)∪ (4;10] и t∈ 2πn+ 6;2πn + 6 , где n ∈ℤ

При $n =0$ получим интервал $( ) t∈ π6;5π6 .$ Он с областью $t∈(−10;0)∪ (4;10]$ не пересекается, ведь $0< π6 < 5π6-< 4.$

При $n =1$ получим интервал $( ) t∈ 2π+ π6;2π+ 56π .$ Он лежит в области целиком, ведь $4< 2π+ π6 <2π + 5π6 <10.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 1$ получим интервал $t∈ (− 2π + π6;− 2π + 5π6 ).$ Он тоже лежит в области целиком, ведь $− 10< −2π+ π6 <− 2π + 5π6-< 0.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 2$ получим интервал $( π 5π-) t∈ − 4π+ 6;−4π+ 6 .$ Тут получается такое неравенство: $π 5π − 4π+ 6 < −10< −4π+ 6 ,$ интервал пересекается с областью $t∈ (−10;0)∪(4;10],$ пересечение - это множество $( 5π) −10;− 4π + 6 ,$ которое пойдёт в ответ.

При остальных $n$ интервалы заведомо лежат либо далеко левее $− 10,$ либо правее $10,$ и на ответ не повлияют.

В итоге ответ складывается из объединения множеств

( π 5π) ( π 5π) ( 5π) (10;+∞ ), 2π+ 6;2π+ 6- , − 2π + 6;−2π+ 6- , −10;−4π+ -6

Ответ:

$(− 10;−4π+ 5π)∪(−2π + π ;− 2π + 5π)∪ (2π + π;2π + 5π)∪ (10;+∞ ) 6 6 6 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70492Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a∈ ℝ$ наибольшее расстояние между корнями уравнения

3 ( 2) 2 ( 2 ) atg x+ 2 − a− a tg x + a − 2a − 2 tgx+ 2a =0,

принадлежащими интервалу $(− π;π), 2 2$ принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.

Источники: Ломоносов-2022, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, ну у нас тут кубическое уравнение относительно тангенса. В общем виде мы очень плохо решаем уравнения 3 степени, поэтому обычно в таких ситуациях мы пытаемся найти какое-то решение, а потом уже решать квадратное, поделив кубическое на это решение. Если вы верите в светлое будущее, то вам, скорее всего, нужно найти этот корень, потому как иначе непонятно, что делать и как исследовать разность между корнями, да ещё арктангенс брать. В общем, попытайтесь найти решение!

Подсказка 2

Ищется оно недолго, так как первая мысль «tgx = 1» срабатывает. После чего мы получим некоторый квадратный трехчлен, который уже можно разложить, либо просто угадав корни, либо через дискриминант. Получим, итого, (t - 1)(t - a)(at + 2) = 0, где t = tgx. Посмотрим на корни t = а и t = -2/a(если a!=0). Что можно про них сказать?

Подсказка 3

В силу того, что tgх нечетная функция, выходит, что один из корней точно < 0(уже после взятия арктангенса). Но при этом у нас есть корень pi/4. Что тогда можно сказать про наибольшее расстояние? А если а = 0?

Подсказка 4

Верно, что оно больше pi/4. Но в этих случаях, мы рассмотрели ситуации, когда a!=0, так как иначе один из корней не определен. Если же а = 0 , то есть два корня - 0 и pi/4. И тут расстояние ровно pi/4. Значит, в других ситуациях расстояние больше pi/4, а в этом pi/4. Значит, есть и оценка, и пример!

Показать ответ и решение

Данное уравнение можно переписать в виде

(tgx− 1)(tgx − a)(a tgx +2)= 0

Откуда при $x∈ (− π;π) 2 2$ либо $tgx =1$ и $x = π, 4$ либо $tg x= a$ и $x= arctg a,$ либо (при $a⁄= 0)tgx =− 2 a$ и $x= − arctg 2. a$ Таким образом, данное уравнение имеет на интервале $(− π;π) 2 2$ два или три различных корня (второй корень не может совпадать с третьим, так как $arctg a$ и $− arctg 2 a$ имеют разные знаки при любом $a⁄= 0$ в силу нечётности арктангенса).

Случай 1: $a =0.$ Тогда остаётся два корня $x= π 4$ и $x = 0,$ которые отличаются на $π. 4$

Случай 2: $a >0.$ Тогда разность между корнями $x= π 4$ и $x= − arctg 2< 0 a$ больше, чем $π. 4$

Случай 3: $a <0.$ Тогда разность между корнями $π x= 4$ и $x= arctga< 0$ больше, чем $π 4.$

Ответ:

$π 4$ при $a =0$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70493Максимум баллов за задание: 7

Высота $BD$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекается с его другими высотами в точке $H.$ Точка $K$ лежит на отрезке $AC$ так, что величина угла $BKH$ максимальна. Найдите $DK,$ если $AD =2,DC = 3.$

Источники: Ломоносов-2022, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти наибольшую величину угла, попробуем искать наибольшее значение одной из тригонометрических функций этого угла. Какую будет использовать удобнее всего? В △BKH нет прямых углов, поэтому подумайте через какие углы лучше всего выразить ∠BKH?

Подсказка 2

tg(x-y) = (tg(x) - tg(y)) / 1 + tg(x) * tg(y). Заменив длину неизвестной стороны DK за x, получим функцию от x, максимум которой мы ищем

Подсказка 3

Производная функции обнуляется при x² = BD * BH. Как выразить это произведение через AD и DC?

Подсказка 4

tg(∠HAD) = ctg(∠BCD)

Показать ответ и решение

$PIC$

Чем больше острый угол, тем больше его тангенс. Поэтому условие максимальности угла $BKH$ можно заменить на условие максимальности его тангенса. По формуле тангенса разности имеем