Высшая проба - задания по годам → .10 Высшая проба 2024

Заметим, что если для исходного числа существует такой момент, то и для числа , полученного вычеркиванием всех девяток из исходного, он так же существует, поскольку каждое вычеркивание не меняет остаток при делении суммы цифр на 9.

Рассмотрим число . В силу неравенства , отношение количества восьмерок к оставшимся числам, больше 9. Отметим подряд идущие блоки по 9 чисел. Докажем, что существует блок, элементами которого являются лишь восьмерки. Пусть это не так, тогда в каждом блоке есть цифра отличная от восьмерки, следовательно, количество цифр, не являющихся восьмерками, хотя бы от общего количество, что противоречит полученному неравенству.

Рассмотрим блок, состоящий только из восьмерок. Пусть число, полученное из вычеркиванием всех цифр до найденного блока, имеет остаток при делении на 9. Каждое вычеркивание 8 увеличивает остаток при делении на 9 на 1, следовательно, вычеркнув элементов в блоке, мы получим искомое число.

Первое решение.

Из вписанности четырехугольника следует, . Треугольник является равнобедренным, а значит, , следовательно, .

Из равнобедренности треугольника следует, что .

Наконец, в силу вписанности четырехугольника

Из этого равенства углов получаем, что вписанный четырёхугольник является равнобедренной трапецией либо прямоугольником. В любом случае то есть

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Докажем, что хорды и стягивают равные дуги в окружности , то есть докажем равенство

Для начала, по теореме о внешнем угле А поскольку треугольник является равнобедренным, то Кроме того, из вписанности четырехугольника следует . Таким образом,

Аналогично

Наконец, искомое равенство углов можно переписать в виде

что верно, так как суммой углов в каждой части равна углу между диагоналями четырехугольника.

Из отрезков можно сложить четырехугольник тогда и только тогда, когда . Рассмотрим четверку , заметим, что , следовательно, , иначе проверяемое неравенство не выполнено. Аналогично, можно показать, что .

Назовем последовательность интересной. Таким образом, необходимо посчитать количество способов выбрать в интересной последовательности пар из тройки элементов и одного элемента, который не превосходит по номеру элементы выбранной тройки.

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел, в котором каждое из чисел участвуют ровно два раза и назовем ее хорошей. Восстановим по хорошей последовательности способ разбиения интересной последовательности. На первом шаге рассмотрим первое число в каждой из последовательности. На каждом следующем шаге, если рассматриваемое число в хорошей последовательности встречается впервые, то ставим ему в соответствие рассматриваемое число в интересной последовательно, после чего рассматриваем следующий числа в каждой из последовательностей. Если рассматриваемое число в хорошей последовательности встречается во второй раз, то ставим ему в соответствие тройку из рассматриваемого элемента в интересной последовательности и двух элементов, идущих после него. Таким образом, к концу процесса, каждому первому вхождению числа в хорошей последовательности стоит в соответствие один элемент интересной последовательности, а каждому второму тройка подряд идущих элементов интересной последовательности.

Посчитаем количество хороших последовательностей. Существует способов выбрать индексы двум единичкам, после этого останется возможных индекса, следовательно, существует ровно способов выбрать индексы для двух двоек. Продолжая ставить каждому из чисел в соответствие два индекса, получим что общее количество способов сделать это, равно . Осталось заметить, что каждая перестановка чисел в хорошей последовательности не меняет набор разбиение интересной последовательности, следовательно, каждое разбиение было посчитано раз (количество перестановок длины ), а значит общее количество разбиений равно

Переформулируем условие задачи на язык графов. Каждому племени поставим в соответствие вершину, между любыми двумя соседними проведем ребро. Для каждой вершины определен ее идол, если идол соседней вершины сильнее, то в этот день вершина меняет своего идола на более сильного.

Будем решать задачу индукцией по количеству вершин. База индукции для графа, состоящего из одной вершины, очевидна.

Докажем, что если условие задачи верно для некоторого натурального то оно же верно для Выберем висячую вершину исходного дерева, родителем которой является вершина

Будем говорить, что вершина влияет на вершину если данные вершины являются соседями и идол сильнее идола при этом не имеет соседа с более сильным идолом, отличным от

Если не существует дня, в котором вершина влияло на вершину В графе, полученном из данного удалением вершины по предположению индукции все вершины через несколько дней будут иметь одного и того же идола, в частности его же будет иметь вершина а значит и вершина

Предположим, что существует день, в котором повлияло на После этого дня вершины и имеют одинакового идола. Теперь, если вершина меняет идола на более сильного, то на следующий день так же начинает поклоняться этому идолу, а значит не наступит дня, в котором имело бы более сильного идола, следовательно больше никогда не повлияет на тем самым мы можем применить рассуждения, проделанные ранее, для дня, после которого вершина повлияла на

Пусть в основании пирамиды лежит 2024-угольник , точка — вершина пирамиды. Пусть для всех , сфера касается ребер в точке , а ребер в точке ().

Рассмотрим треугольник . Сечением сферы в его плоскости является вписанная в него окружность, которая касается его сторон в точках , , . Пусть

Из теоремы косинусов имеем

Как известно,

По условию достаточно показать, что произведения квадратов половинных синих и половинных красных углов равны. Но из равенства выше каждое из таких произведений равно произведению отношений для всех , что доказывает исходное равенство.

Докажем, что точки лежат на одной окружности т.е. что четырёхугольник является вписанным. Действительно, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей а как опирающиеся на одну дугу в значит, Следовательно, по признаку четырёхугольник является вписанным.

Из этого получаем, что Из окружности получаем, что Значит, а, следовательно, по признаку четырёхугольник является вписанным, т.е. точки лежат на одной окружности.