ММО - задания по годам → .02 ММО 2010
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов
не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?
Подсказка 1
Пусть наши трёхчлены — это функции f(x), g(x) и h(x) соответственно. Какое общее свойство есть у попарных сумм наших функций, которое следует из того, что они не имеют корней?
Подсказка 2
Давайте рассмотрим функцию f(x) + g(x). Обратите внимание, что её ветви направленны вверх, а корней при этом нет. Какие тогда значения по знаку может принимать функция?
Подсказка 3
Так как график функции f(x) + g(x) не имеет пересечений с осью Ox, а ветви данной параболы направлены вверх, то можно сделать вывод, что f(x) + g(x) > 0. Аналогичное утверждение можно сказать и про оставшиеся две суммы. Подумайте, как отсюда доказать, что f(x) + g(x) + h(x) > 0
Пусть 
Многочлен 
не имеет корней и имеет положительный старший
коэффициент, следовательно, положителен при любых значениях 
Аналогично, 
и 
для любого
Зафиксируем произвольную точку 
Тогда 
Складывая полученные неравенства
и деля на 2, получим
тем самым, сумма трех рассматриваемых трехчленов положительна в любой действительной точке.
