Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
ММО 2021
Задача #92162

Тема . ММО - задания по годам

ММО 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо - задания по годам

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92162

Существует ли функция $f$ , определённая на отрезке $[− 1;1]$ , которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству

2f(cosx)= f(sinx)+ |sinx|?

Источники: ММО - 2021, первый день, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Подставляя $π∕2 − x$ вместо $x$ , получаем

1 2f(sinx)= f(cosx)+|cosx|= 2(f(sinx)+|sinx|)+|cosx|,

откуда находим

1 2 1 2∘ ------- f(sinx)= 3|sinx|+ 3|cosx|= 3|sin x|+ 3 1− sin2x

Таким образом,

∘ ----- f(x)= 1|x|+ 2 1− x2 3 3

Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных $x$ .

Ответ: да

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse