Тема СПБГУ - задания по годам

СПБГУ 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела спбгу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70475

На картинке нарисовано несколько кружочков, соединённых отрезками.

$PIC$

Саша выбирает натуральное число $n$ и расставляет в кружочках различные натуральные числа так, чтобы для всех этих чисел выполнялось свойство: если числа $a$ и $b$ не соединены отрезком, то сумма $a+b$ должна быть взаимно проста с $n,$ a если соединены, то числа $a+ b$ и $n$ должны иметь общий натуральный делитель, больший 1.

При каком наименьшем $n$ существует такая расстановка?

Источники: СПБГУ-22, 11.1 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем два замечания.

1) $n$ нечетно. Действительно, пусть $n$ четно. Среди семи чисел всегда есть три числа одной четности, и по условию они должны быть попарно соединены. Но на картинке нет циклов длины 3.

2) Если $q$ — простой делитель $n,$ то среди четырех последовательно соединенных чисел существует пара соседних, сумма которых не кратна $q.$ Возьмем цепочку $(a,b,c,d)$ последовательно соединенных чисел. По условию

. a +d= (a+ b)− (b+c)+ (c+ d).. p

Тогда числа $a$ и $d$ тоже соединены, то есть на картинке получился цикл длины 4, которого там нет.

Из 1) и 2) вытекает, что число $n$ имеет по крайней мере два различных нечетных простых делителя. Пусть их ровно два (скажем, $p$ и $q).$ Покажем, что они отличны от 3. Допустим, например, что $p= 3.$ Не более двух чисел делятся на 3 (если их три, то они образуют цикл). Остальные числа разобьем на две группы, дающие при делении на 3 остатки 1 и 2. Одна из этих групп пуста, иначе любое число из меньшей группы будет соединено по крайней мере с тремя числами из другой группы, что невозможно. Сумма чисел из одной группы на 3 не делится. Поэтому существует трехзвенная цепочка, в которой сумма любой пары соединенных чисел не кратна 3 и, значит, делится на $q.$ Но это противоречит 2).

Таким образом, если $n$ имеет ровно два различных нечетных простых делителя, то $n ≥5 ⋅7 =35.$ Если же таких делителей больше двух, то $n≥ 3⋅5⋅7= 105 >35$ . Расстановка для $n= 35$ приведена на рисунке.

$PIC$

Ответ: 35

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70476

При $x,y,z ∈ (0,2]$ найдите максимальное значение выражения

(x3− 6) 3√x+-6+ (y3− 6) 3√y-+6+ (z3 − 6)√3z-+6 A = ---------------x2+y2+-z2---------------

Источники: СПБГУ-22, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

При $x∈ (0,2]$ справедливы неравенства $√3x-+-6≤ 2$ и $x3 ≤2x2$ , откуда

(3 ) 3√---- ( 2 ) x − 6 x+6 ≤2 2x − 6

Аналогичным образом оцениваются два других слагаемых в числителе $A.$ Поэтому

2x2− 6-+2y2−-6+2z2−-6 ----36---- 36 A ≤ 2⋅ x2+ y2+ z2 = 4− x2+ y2+z2 ≤4− 12 =1.

Равенство реализуется при $x =y =z =2.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70477

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Внутри треугольника $AOB$ выбрана такая точка $K,$ что прямая $KO$ является биссектрисой угла $CKD.$ Луч $DK$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $COK$ в точке $L,$ а луч $CK$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $DOK$ в точке $M.$ Найдите отношение площадей треугольников $ALO$ и $BMO.$

Источники: СПБГУ-22, 11.3 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $r1$ и $r2$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $COK$ и $DOK$ соответственно. Заметим, что

∠LKO = 180∘− ∠DKO =180∘− ∠CKO = ∠MKO

откуда $LO r1 MO- = r2$ . Кроме того, из вписанности $ABCD$ вытекает, что треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны по двум углам. Тогда

-AO = OD-= r2 BO OC r1

так как хорды $OD$ и $OC$ соответствуют одинаковым вписанным углам. Поэтому

LO- ⋅ AO-= 1⇐⇒ LO ⋅AO =MO ⋅BO MO BO

Поскольку $∠KMO = ∠KDO$ и $∠KLO = ∠KCO,$ треугольники $MCO$ и $DLO$ подобны, откуда

∘ ∘ ∠AOL = ∠AOM +∠LOM = 180 − ∠COM +∠LOM = 180 − ∠DOL + ∠LOM =

= ∠BOL +∠LOM = ∠BOM

Таким образом,

S = 1⋅LO ⋅AO ⋅sin∠AOL = 1⋅MO ⋅BO ⋅sin∠BOM = S AOL 2 2 BOM

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70478

Натуральное число $x$ в системе счисления с основанием $r(r≤ 36)$ имеет вид $ppqq,$ причем $2q =5p.$ Оказалось, что $r$ -ичная запись числа $2 x$ представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой. (Палиндромом называется число, которое читается одинаково слева направо и справа налево). Найдите сумму $r$ -ичных цифр числа $2 x.$

Источники: СПБГУ-22, 11.4 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Договоримся писать $u≡ v (modw ),$ если $.. (u− v) . w.$ Пусть $p= 2s,q = 5s.$ Тогда

( ) ( ) x= ppqqr = pr2+ q (r+ 1)= s2r2+ 5 (r+ 1)

Из условия на $2 x$ вытекает равенство

( )( ) ( ) ( ) ( ) s22r2+ 52 r2+ 2r+1 = a 1+ r6 + b r+r5 + cr2+ r4 ,

(1)

где $a,b,c$ — некоторые $r$ -ичные цифры. Сделаем два наблюдения.

1) При любом натуральном $n$

rn =(1+ r− 1)n ≡ (−1)n(1− n(1 +r)) (mod(1+ r)2)

Левая часть $(1)$ кратна $(1+ r)2,$ откуда

0≡a(2− 6(1+ r))− b(2− 6(1+r))+c(2− 6(1+ r))=

= 2(1− 3(1 +r))(a− b+c) (mod (1+ r)2)

Поскольку $1− 3(1+ r)$ взаимно просто с $(1+ r)2,$ на $(1+ r)2$ делится $2(a− b+ c).$ Но это число лежит в интервале $( ) (−2r,4r)⊂ − (1 +r)2,(1+r)2 ,$ откуда $b =a+ c.$

2) Приравняем остатки левой и правой частей $(1)$ от деления на $1+ r2 :$

18s2r≡ br(1+ r4)≡2br (mod (1+r2))

Поскольку $r$ взаимно просто с $1+ r2,$ на $1+r2$ делится $( ) 2 9s2− b .$ Заметим, что $4s2 ≤ r− 1$ , иначе число $x2$ будет восьмизначным. Кроме того, $r ≥5s+ 1≥ 6$ . Поэтому

2(9s2− b)< 18s2 ≤ 9(r− 1)< 6r< 1+ r2 2

2(9s2− b)≥− 2b >− 2r >− 1− r2

Таким образом, $b= 9s2.$

Поскольку $b$ — $r$ -ичная цифра, из 2) вытекает, что $9s2 < r≤ 36$ , откуда $s2 < 4.$ Так как $s> 0,$ мы получаем $s= 1$ и $b= 9.$ В силу 1) сумма цифр $x2$ равна $2(a +b+ c)=4b= 36.$

Замечание.

Прямым вычислением проверяется, что $2255221 = 495059421$ . Таким образом, описанная в условии ситуация реализуется.

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70479

При каких $n$ клетчатую доску $n ×n$ можно разбить по клеточкам на один квадрат $2× 2$ и некоторое количество полосок из пяти клеток так, что квадрат будет примыкать к стороне доски?

Источники: СПБГУ-22, 11.5 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Если доску $n× n$ удалось разрезать на один квадрат $2 ×2$ и некоторое количество полосок из пяти клеток, то $n2 =22+ 5m$ , откуда $n$ дает остаток 2 или 3 от деления на 5. Предположим, что $n = 5k +3$ и доску удалось разрезать требуемым образом. Развернем ее так, чтобы квадрат примыкал к верхней стороне доски. Запишем в клетках верхней строки единицы, в клетках следующей за ней строки — двойки, и так далее. Заметим, что сумма чисел в пяти последовательных строках кратна 5, поскольку

. ni+ n(i+ 1)+n(i+2)+ n(i+ 3)+n(i+4)= 5n(i+ 2)..5

Поэтому остаток от деления на 5 суммы всех расставленных чисел равен

(n+ 2n+ 3n)≡ 6(5k +3)≡ 3 (mod 5 )

С другой стороны, в каждой полоске сумма чисел кратна пяти, а в квадрате сумма чисел равна $1+ 1+2 +2= 6.$ Значит, остаток от деления на 5 суммы всех расставленных чисел равен 1 , и мы получаем противоречие.

Если $n= 5k+2,$ то можно вырезать угловой квадрат $2× 2,$ верхнюю полоску $2× 5k$ разрезать на горизонтальные полоски из пяти клеток, а прямоугольник $5k ×(5k+2)$ разрезать на вертикальные полоски из пяти клеток.

Ответ:

при $n = 5k − 3,k∈ ℕ$