ПитерГор 2024
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим всевозможные квадратные трехчлены вида 
где 
и 
— натуральные числа, не превосходящие
некоторого натурального числа 
Докажите, что количество пар таких трехчленов, имеющих общий корень, не превосходит
Источники:
Подсказка 1
Не совсем ясно, с чего начать. Давайте для начала попробуем доказать, что для двух произвольных трехчленов, соответствующих условию, общий корень — целое число.
Подсказка 2
Первый шаг к тому, что корень является целым, — его рациональность. Подумайте, есть ли какой-то способ представить корень в виде частного.
Подсказка 3
Если всё ещё ничего не приходит в голову, припомните факт о том, что общий корень так же будет корнем разности трехчленов.
Подсказка 4
Рациональность есть, чтобы доказать, что корень целый, обратите внимание, что коэффициент при старшем члене многочлена — 1.
Подсказка 5
Теперь имеем, что общий корень двух трехчленов — целое число, едем дальше. Теперь было бы очень сподручно как-то оценить количество пар сверху.
Подсказка 6
Сравните общий корень и N, пользуясь фактом, что наш корень — делитель свободного члена.
Подсказка 7
Обозначим общий корень буквой k, где k принимает все значения от 1 до N. Тогда при фиксированном k, сколько значений может принимать коэффициент a? Постройте оценку количества пар сверху и расширьте её на все k от 1 до N.
Подсказка 8
В полученной оценке имеем сумму обратных квадратов. Припомните общеизвестный факт об оценке суммы обратных квадратов и приведите доказательство.
Подсказка 9
Воспользуйтесь сравнением с телескопической суммой.
Подсказка 10
Если Вы из прошлой подсказки ничего не поняли из-за страшных слов, то на самом деле всё просто. Сравните сумму 1/k² c 1/(k(k-1)).
Подсказка 11
Если всё ещё чувствуете затруднения, представьте каждый член суммы, с которой сравниваем, как разность, чтобы лишние члены схлопнулись.
Любой общий корень 
трёхчленов 
и 
также является корнем их разности:
Отсюда следует, что 
— рациональное число. Но у квадратных трёхчленов со старшим коэффициентом 
все рациональные корни
автоматически являются целыми. Итак, любой общий корень 
двух таких трёхчленов — целое число. К тому же, видно, 
и
так как 
является делителем свободного члена.
Оценим количество пар трёхчленов, имеющих общий корень 
где 
При заданном 
коэффициент 
такого
трёхчлена однозначно задаётся коэффициентом 
который может принимать не более 
значений, поскольку он должен делиться на 
Таким образом, количество таких пар не больше чем:
Складывая такие оценки по всем 
от 
до 
получаем, что общее число пар не превосходит:
Как известно, сумма обратных квадратов меньше 
Докажем оценку:
Это телескопическая сумма:
Следовательно, общее число пар можно оценить:
Таким образом, оцениваемое количество пар меньше 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
