Тема ПВГ - задания по годам

ПВГ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90866

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|x|− arcsin x+ b⋅(arccosx+|x|− 1)+ a= 0

при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Источники: ПВГ - 2021, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем не очень приятное выражение одновременно с x, arccos(x) и arcsin(x). Попробуйте немного улучшить вид нашего уравнения: выразить arcsin(x) через arccos(x), оставить всё, что связано с переменной x в левой части, а всё остальное перекинуть в правую.

Подсказка 2

Ясно, что обычными алгебраическими преобразованиями задачу не решить. А также мы имеем сильное ограничение на x в силу ОДЗ. Попробуйте оценить левую часть и понять, какие значения может принимать правая при любых b.

Подсказка 3

Итак, мы получили, что левая часть меньше π, а правая почти всегда может быть сколь угодно большим числом за счёт параметра b. Тогда нам нужно сделать так, чтобы b никак не мог менять правую часть. В каком же случае это выполняется?

Подсказка 4

Да, верно! Когда числитель правой части равен 0. Осталось лишь показать, что в этом случае всегда найдется корень.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1$

Мы знаем, что $( π π) arcsinx∈ − 2,2$ , $arccosx∈ (0,π)$ и $π arccosx+ arcsin x= 2$ . Значит,

π |x|+arccosx− 2 +b⋅(arccosx +|x|− 1)+ a= 0

π − 1 − a arccosx +|x|− 1= 2-b+-1-

Заметим, что если $π2 − 1− a⁄= 0$ , то правая часть может быт сколь угодно большим числом (так как $b$ любое), а левая часть $arccosx+ |x|− 1< π+ 1− 1=π$ ?!

Значит, если при любом значении $b$ есть хотя бы одно решение, то $a = π2 − 1$ . Тогда есть решение $x= 1$ для любого $b$ .

Ответ:

$π − 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92318

Натуральные числа, начиная с $20$ , выписали в одну строку: $20212223....$ Какая цифра стоит в получившейся последовательности цифр на $2021$ -м месте?

Источники: ПВГ - 2021, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто поймём, цифра какого числа стоит на 2021 месте. Для начала нужно определить количество знаков в этом числе. Может ли оно быть двухзначным?

Подсказка 2

Не может! Ведь каждое двузначное число занимает 2 места, а используем мы максимум 80 таких чисел. А может ли число быть трёхзначным? Осталось только определить, что же это за число, и задачка будет решена!

Показать ответ и решение

Цифры чисел с $20$ по $99$ занимают в этом ряду первые $80 ⋅2 =160$ мест. Осталось $2021 − 160= 1861$ места. Цифры чисел от $100$ до $719$ занимают следующие $(719− 99)⋅3 =1860$ мест. Значит, на $2021$ месте стоит первая цифра числа $720,$ то есть цифра $7.$

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#94086

Сколько корней имеет уравнение

lg(x2−3) x2− 2 2 = lg2 ?

Источники: ПВГ - 2021, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, для начала хотелось бы увидеть похожие выражения, чтобы приблизиться к разгадке, как такое решать. Для этого можно сразу сделать замену и воспользоваться свойствами логарифмов. И не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Да, просто так уравнение не решается, поэтому в дело вступает работа с функциями! Попробуйте понять, как они себя ведут, нарисовать эскизы графиков, тогда можно будет найти количество точек пересечения

Показать ответ и решение

Уравнение преобразуется к виду

α 2 t =α(t+ 1), α = lg2∈ (0,1), t=x − 3> 0,

причём:

1) левая часть уравнения — степенная функция, выпуклая вверх (так как $α ∈ (0,1)$ ), определенная при $t≥ 0$ ;

2) правая часть уравнения — линейная функция с положительным угловым коэффициентом;

3) при $t=0$ значение левой части меньше, чем значение правой части; при $t= 1$ значение левой части, наоборот, больше значения правой, так как

α 1 = lg10> lg4= α⋅(1 +1);

при достаточно больших значениях $t$ правая часть уравнения будет больше левой, так как после деления их на $t$ левая будет стремиться к 0 , а правая к $α > 0.$

Поэтому, так как функция выпуклая, то графики этих функций пересекаются ровно в двух точках (одна между 0 и 1 , другая правее 1 ).

Каждое из этих двух положительных значений $t$ порождает по два корня $x$ исходного уравнения. Таким образом, всего корней 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94089

Решите систему

(| 2x− 3y+-1 =6, |{ xy1 ||( 3z− 6x+ xz1 = 2, 6y− 2z+ yz = 3.

Источники: ПВГ - 2021, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда не очень понятно, что тут можно сделать... Однако оказывается, что здесь очень хорошо подобраны коэффициенты — попробуйте правые части уравнений домножить на разность соответствующих слагаемых в левой и сложить!

Подсказка 2

Ага, получился 0! А давайте тогда попробуем сделать с дробями то же самое, что получится? А значит, к какому следствию из системы хорошо бы перейти?

Показать ответ и решение

Умножив первое уравнение на $(2x− 3y)$ , второе — на $(3z− 6x)$ , третье — на $(6y− 2z)$ и сложив, получаем уравнение-следствие:

2 2 2 2x−-3y- 3z− 6x 6y-− 2z (2x− 3y)+ (3z − 6x) +(6y− 2z) + xy + xz + yz = 6(2x − 3y)+ 2(3z− 6x)+ 3(6y− 2z)

(2x − 3y)2+(3z− 6x)2+ (6y− 2z)2 = 0

2x= 3y = z

Подстановка $2x =3y =z$ в систему приводит к ответу: $1 1 x= 2,y = 3,z = 1$ и $1 1 x= −2,y = − 3,z = −1.$

Ответ:

$(1,1,1) ,(− 1,− 1,− 1) 2 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94092

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.

Источники: ПВГ - 2021, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть квадрат согнуло по прямой PR (R лежит на BC, P - на AD, RC = AP = x < a/2). Попробуйте вычислить длину AQ. Для этого нужно выразить через a и x какую-нибудь тригонометрическую функцию угла между RP и AD.

Подсказка 2

Заметим, что площадь искомой фигуры равна половине площади квадрата и ещё площади двух треугольников. Для нахождения их площади как раз нужно было выражение для длины AQ.

Подсказка 3

Полученную функцию относительно x нужно исследовать с помощью производной и найти максимум.

Показать ответ и решение

Обозначим сторону квадрата через $a.$ Пусть прямая отсекает от стороны квадрата $AD$ отрезок $AP =x < a. 2$ Найдём $AQ$ .

$PIC$

Обозначим $∠RP S = ∠RP Q= α,∠QPA = β$ . Поскольку из треугольника $PRS$ (здесь $S$ это проекция точки $R$ на основание $AD$ ) находим $tgα =a−a2x$ , то