Физтех 2024
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
Подсказка 1
Уравнения сложные... Корни, большие степени, жуть... Такое явно не решается в лоб, нужно найти красивую идею, чтобы упростить какое-нибудь из двух уравнений системы.
Подсказка 2
Посмотрите внимательно на второе уравнение: что получится, если перенести все слагаемые с x в левую часть, а с y — в правую?
Подсказка 3
Выходит, что в обеих частях уравнения одна и та же функция, просто с левой стороны это функция от и x, а с правой — от y. Но что это вообще за функция? При каких условиях в двух точках её значения равны?
Подсказка 4
Верно, эта функция строго возрастает, значит, каждое своё значение она принимает ровно один раз! Какой вывод можно сделать?
Подсказка 5
Да, что х и у равны! Осталось только подставить это в первое уравнение и аккуратно решить его.
Запишем второе уравнение системы в виде
Введем функцию
Теперь можем переписать это уравнение в виде 
Функция 
строго возрастает на всей своей области определения, как
сумма трёх возрастающих при 
функций. Отсюда следует, что каждое своё значение она принимает единственный раз. Значит, 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
Обозначим 
Возводя обе части в квадрат, получаем
Отсюда
Уравнение принимает вид
Значит,
Если 
то
Возведя в квадрат обе части и упростив, получаем:
Это уравнение равносильно системе:
Подходит только корень
Если 
то
Левая часть этого уравнения — возрастающая функция, а правая — убывающая. Из второго уравнения следует, что 
Значит,
минимальное значение левой части равно 
а максимальное значение правой — 
(оба значения принимаются при 
Следовательно, в этом случае решений нет. Итак, система имеет единственное решение
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
