Курчатов - задания по годам → .11 Курчатов 2024

Докажем, что для любого целого справедливы следующие формулы:

Будем доказывать эти формулы индукцией по . База проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы для всех чисел, не больших , и докажем эти формулы для числа . Поскольку по предположению индукции , последовательно получаем следующие равенства:

Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности могут равняться 2024. Ясно, что числа вида и не могут равняться 2024: числа вида нечётны, а числа вида равны 1 . Далее, числа вида могут равняться 2024 только при , что дает нам один пример последовательности.

Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного число равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение: . Заметим, что сомножитель дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4. Значит, число , во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к. ). Поскольку , число имеет вид , где и . Для того, чтобы число такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень была бы нечетной (поскольку и ). Получаем ещё 6 возможных значений . Вместе с вариантом получаем 7 возможных последовательностей.

Возьмём произвольное слово длины и будем последовательно передвигать в нем буквы A, не уменьшая при этом крутизну слова. Ясно, что в нашем слове должно быть хотя бы две буквы B, иначе крутизна слова равна Далее, предположим, что в слове между двумя буквами В есть буква А, т.е. слово имеет вид …В … …В …Посмотрим, с какой стороны от буквы больше букв А, и передвинем выделенную букву в тот конец слова, где их меньше. Заметим, что при таком перемещении буквы А мы могли разрушить лишь слова вида ABBA и ABBA, которые давали вклад в размер крутизны исходного слова. Предположим, что мы переместили букву К налево. Тогда слова вида BBA сохранились, а вместо слов вида ABB образованных буквой В слева от и двух букв В и буквы мы получим как минимум столько же слов, которые образуются из нашей передвинутой буквы двух любых букв У и любой буквы А, которая стояла в исходном слове справа от буквы А. Получается, что мы можем рассматривать только слова вида А...АВ...ВА...А. Если в левом блоке будет букв А, а в правом букв А, то крутизна такого слова равна

Заметим, что при фиксированной сумме произведение будет максимальным, если числа и отличаются не больше чем на в противном случае, если, например, то переместим одну букву из левого блока в правый, и крутизна изменится на

Таким образом, можно считать, что или причем (иначе в нашем слове не будет или букв А, или букв В). Теперь возьмем слово, в котором и заменим последнюю букву В на букву А. При такой замене крутизна слова изменится на величину

Значит, при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при уменьшается. Аналогично, посмотрим, что произойдёт, если в слове, в котором заменить первую букву В на букву A:

Получается, что при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при — уменьшается. Значит, мы можем последовательно совершать такие замены, сводя величину к значению и увеличивая в процессе крутизну. В итоге, наибольшая крутизна будет у слова, в котором и равна она

Замечание.

Последнюю часть решения можно провести по-другому. А именно, рассмотрим крутизну слова, в котором , как функцию от . Вычислим ее производную: . Нас интересует натуральная точка из отрезка , которая наиболее близка к нулю этой производной. Поскольку , в качестве такой точки необходимо выбрать число , что и приводит нас к примеру. Аналогичные вычисления для случая также дают значение , но крутизна такого слова оказывается меньше.

Пусть - итоговое шестизначное число. Пусть также и . Заметим, что если Боря своим третьим ходом поставит цифру из множества , Аня выиграет, поскольку полученное число будет делиться на 2 . Значит, .

Пусть Аня первым ходом выберет цифру , а вторым ходом - цифру 9. Если Боря на первом или втором ходу выберет цифру из множества , то своим третьим ходом Аня заберет последнюю оставшуюся цифру из множества , и Боря вынужден будет взять свою цифру из , что приведет к его проигрышу. Значит, Боря вынужден взять первые две свои цифры и взяты из множества . Заметим, что Боря вынужден будет на последнем ходе выбрать либо цифру 1 , либо цифру 7 , которые дают одинаковый остаток 1 при делении на 3. Поэтому Ане достаточно подобрать цифру так, чтобы сумма цифр давала бы остаток 2 при делении на 3 . Поскольку и не влияют на остаток этой суммы, все зависит от остатка суммы . Покажем, как действовать Ане в каждом из случаев.

Если делится на 3 , то Аня выберет цифру из набора : поскольку до этого момента эти цифры мог выбирать только Боря, как минимум одна из этих трех цифр останется не выбранной.

Если дает остаток 1 при делении на 3 , Аня выберет цифру . Как мы помним, Боря не мог ее выбрать на первых двух ходах.

Наконец, если дает остаток 2 при делении на 3 , Аня выберет цифру из набора . Боря не мог выбрать обе эти цифры, поскольку тогда , а мы предположили, что дает остаток 2 при делении на 3 .

Таким образом, Аня выиграет.

Введем декартову систему координат, и пусть - координаты -й улитки в момент времени . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то и - линейные функции от времени . Рассмотрим векторы

направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов и .

Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:

Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.

Обозначим точки касания сферы с гранью основания и гранями и буквами и соответственно.

По свойству отрезков касательных, соответствующие отрезки касательных к сфере будут равны. Значит, по признаку равенства по трём сторонам будут равны треугольники

а также

Следовательно, будут равны все соответствующие углы этих треугольников.

Поскольку вертикальные углы между диагоналями равны, то будут равны углы и .

Рассматривая суммы углов вокруг точек и получаем, что все углы равны:

Так как эти же углы получаются между диагоналями в основании и образуют вокруг точки в сумме , то углы прямые и диагонали и перпендикулярны.

Обозначим длины отрезков и за и соответственно. Применяя теорему Пифагора для треугольников и получим равенства:

Складывая первое и третье и вычитая второе равенство, получим . Из теоремы Пифагора для треугольника находим отрезок .

Пусть парабола касается обеих прямых и . Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .

Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Подставим в уравнение параболы значения и : получается выражение

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии .

Заметим, что , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси , а значит, и . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: , откуда . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда . Перенося все слагаемые налево, получаем, что , откуда и . Подставляя в формулу и помня, что , получаем и .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке . Тогда ее уравнение выглядит так: для некоторых чисел и .

Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .

Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:

Поставим сначала числа и а затем будем расставлять оставшиеся делители между ними. Между числами и в произвольном порядке поставим все делители, кратные Ясно, что все такие делители не взаимно просты друг с другом, а также с делителями и поскольку все они делятся на

Далее, между числами и поставим все оставшиеся делители, кратные Все эти делители вместе с числами и не взаимно просты, так как кратны Наконец, поставим между и все оставшиеся делители. Поскольку все делители, кратные или уже расставлены, то эти оставшиеся делителя на самом деле в точности степени двойки. Поэтому они и делители и все делятся на и также не взаимно просты. Значит, полученная нами расстановка удовлетворяет условию.

Заметим, что по определению дробной части числа справедливы неравенства

Отсюда

Преобразуем наше уравнение:

Поскольку число лежит в промежутке оно совпадает со своей дробной частью. Значит, число должно быть целым.

Так как то справедливы следующие неравенства:

Поэтому число может принимать любое из целых значений на отрезке и для каждого такого значения существует ровно один из промежутка который реализует это значение. В результате мы получаем ответов.

Перепишем рекуррентное условие последовательности как

Значит, произведение соседних членов последовательности каждый раз уменьшается на Оба начальных члена последовательности положительны, значит, пока это произведение положительно, каждый следующий член последовательности будет оставаться положительным. Известно, что значит,

Первый раз это произведение станет отрицательным при значит, будет первым отрицательным членом последовательности.

а) Пусть середина точка диаметрально противоположная Докажем,что точки и симметричны относительно прямой для этого достаточно чтобы и лежали на одной прямой.

Так как, диаметр, то достаточно доказать, что Но так, как то хотим доказать, что лежат на одной окружности, для этого проверим, что

Заметим, что вписанный, лежит на прямой и вписанный, поэтому верны следующие равенства

б) Можно считать, что Заметим,что

Значит,из теоремы косинусов Так же видно, что Наконец, заметим, что и подобен поэтому

Это отношение и посчитаем. Посчитаем с помощью теоремы Пифагора, для где — середина

Воспользуемся степенью точки

Откуда получаем

Посчитаем нужное отношение

Пусть начальные координаты камешков это

и пусть координаты их центра масс

Рассмотрим прямую проходящую через точку на которой лежит бесконечное количество узлов (то есть точек с целыми координатами). Такая прямая найдется.

Действительно, если то годится прямая

На ней лежат узлы вида где Если же то подойдет прямая

Сделаем ход с -м и -м камешками так, чтобы -й камешек попал в некоторый незанятый узел прямой Отметим, что такой ход можно сделать: если -й камешек попал в узел то -й камешек попадет в узел симметричный относительно середины отрезка между положениями -го и -го камней до хода; так как возможностей выбора узла бесконечно много, то для какого-то из них соответствующий узел будет незанятым. Сделаем аналогичные ходы со -м и -м камешками, с -м и -м камешками, и так далее, с -м и -м камешками.

Теперь все камни, кроме возможно -го, лежат на прямой Но заметим, что в процессе выполнения ходов центр масс камней остается неизменным, и он лежит на прямой (согласно нашему выбору Но отсюда следует, что и оставшийся -й камень также лежит на