Курчатов - задания по годам → .11 Курчатов 2024

Докажем, что для любого целого справедливы следующие формулы:

Будем доказывать эти формулы индукцией по . База проверяется непосредственно. Предположим, что формулы справедливы для всех чисел, не больших , и докажем эти формулы для числа . Поскольку по предположению индукции , последовательно получаем следующие равенства:

Таким образом, наши формулы доказаны. Теперь, используя эти формулы, посмотрим, какие члены нашей последовательности могут равняться 2024. Ясно, что числа вида и не могут равняться 2024: числа вида нечётны, а числа вида равны 1 . Далее, числа вида могут равняться 2024 только при , что дает нам один пример последовательности.

Наконец, предположим, что для некоторого целого неотрицательного число равно 2024 . Мы получаем следующее уравнение: . Заметим, что сомножитель дает остаток 3 при делении на 4 , а число 2025 дает остаток 1 при делении на 4. Значит, число , во-первых, должно быть делителем числа 2025 , а во-вторых, должно иметь остаток 3 при делении на 4 (т.к. ). Поскольку , число имеет вид , где и . Для того, чтобы число такого вида давало бы остаток 3 при делении на 4 , необходимо и достаточно, чтобы степень была бы нечетной (поскольку и ). Получаем ещё 6 возможных значений . Вместе с вариантом получаем 7 возможных последовательностей.

Возьмём произвольное слово длины и будем последовательно передвигать в нем буквы A, не уменьшая при этом крутизну слова. Ясно, что в нашем слове должно быть хотя бы две буквы B, иначе крутизна слова равна Далее, предположим, что в слове между двумя буквами В есть буква А, т.е. слово имеет вид …В … …В …Посмотрим, с какой стороны от буквы больше букв А, и передвинем выделенную букву в тот конец слова, где их меньше. Заметим, что при таком перемещении буквы А мы могли разрушить лишь слова вида ABBA и ABBA, которые давали вклад в размер крутизны исходного слова. Предположим, что мы переместили букву К налево. Тогда слова вида BBA сохранились, а вместо слов вида ABB образованных буквой В слева от и двух букв В и буквы мы получим как минимум столько же слов, которые образуются из нашей передвинутой буквы двух любых букв У и любой буквы А, которая стояла в исходном слове справа от буквы А. Получается, что мы можем рассматривать только слова вида А...АВ...ВА...А. Если в левом блоке будет букв А, а в правом букв А, то крутизна такого слова равна

Заметим, что при фиксированной сумме произведение будет максимальным, если числа и отличаются не больше чем на в противном случае, если, например, то переместим одну букву из левого блока в правый, и крутизна изменится на

Таким образом, можно считать, что или причем (иначе в нашем слове не будет или букв А, или букв В). Теперь возьмем слово, в котором и заменим последнюю букву В на букву А. При такой замене крутизна слова изменится на величину

Значит, при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при уменьшается. Аналогично, посмотрим, что произойдёт, если в слове, в котором заменить первую букву В на букву A:

Получается, что при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при — уменьшается. Значит, мы можем последовательно совершать такие замены, сводя величину к значению и увеличивая в процессе крутизну. В итоге, наибольшая крутизна будет у слова, в котором и равна она

Замечание.

Последнюю часть решения можно провести по-другому. А именно, рассмотрим крутизну слова, в котором , как функцию от . Вычислим ее производную: . Нас интересует натуральная точка из отрезка , которая наиболее близка к нулю этой производной. Поскольку , в качестве такой точки необходимо выбрать число , что и приводит нас к примеру. Аналогичные вычисления для случая также дают значение , но крутизна такого слова оказывается меньше.

Пусть - итоговое шестизначное число. Пусть также и . Заметим, что если Боря своим третьим ходом поставит цифру из множества , Аня выиграет, поскольку полученное число будет делиться на 2 . Значит, .

Пусть Аня первым ходом выберет цифру , а вторым ходом - цифру 9. Если Боря на первом или втором ходу выберет цифру из множества , то своим третьим ходом Аня заберет последнюю оставшуюся цифру из множества , и Боря вынужден будет взять свою цифру из , что приведет к его проигрышу. Значит, Боря вынужден взять первые две свои цифры и взяты из множества . Заметим, что Боря вынужден будет на последнем ходе выбрать либо цифру 1 , либо цифру 7 , которые дают одинаковый остаток 1 при делении на 3. Поэтому Ане достаточно подобрать цифру так, чтобы сумма цифр давала бы остаток 2 при делении на 3 . Поскольку и не влияют на остаток этой суммы, все зависит от остатка суммы . Покажем, как действовать Ане в каждом из случаев.

Если делится на 3 , то Аня выберет цифру из набора : поскольку до этого момента эти цифры мог выбирать только Боря, как минимум одна из этих трех цифр останется не выбранной.

Если дает остаток 1 при делении на 3 , Аня выберет цифру . Как мы помним, Боря не мог ее выбрать на первых двух ходах.

Наконец, если дает остаток 2 при делении на 3 , Аня выберет цифру из набора . Боря не мог выбрать обе эти цифры, поскольку тогда , а мы предположили, что дает остаток 2 при делении на 3 .

Таким образом, Аня выиграет.

Введем декартову систему координат, и пусть - координаты -й улитки в момент времени . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то и - линейные функции от времени . Рассмотрим векторы

направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов и .

Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:

Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.

Обозначим точки касания сферы с гранью основания и гранями и буквами и соответственно.

По свойству отрезков касательных, соответствующие отрезки касательных к сфере будут равны. Значит, по признаку равенства по трём сторонам будут равны треугольники

а также

Следовательно, будут равны все соответствующие углы этих треугольников.

Поскольку вертикальные углы между диагоналями равны, то будут равны углы и .

Рассматривая суммы углов вокруг точек и получаем, что все углы равны:

Так как эти же углы получаются между диагоналями в основании и образуют вокруг точки в сумме , то углы прямые и диагонали и перпендикулярны.

Обозначим длины отрезков и за и соответственно. Применяя теорему Пифагора для треугольников и получим равенства:

Складывая первое и третье и вычитая второе равенство, получим . Из теоремы Пифагора для треугольника находим отрезок .

Пусть парабола касается обеих прямых и . Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .

Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Подставим в уравнение параболы значения и : получается выражение

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии .

Заметим, что , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси , а значит, и . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: , откуда . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда . Перенося все слагаемые налево, получаем, что , откуда и . Подставляя в формулу и помня, что , получаем и .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке . Тогда ее уравнение выглядит так: для некоторых чисел и .

Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .

Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы: