Курчатов 2021

Рассмотрим граф, каждая вершина — рыцарь либо лжец. Ребро — дружба. По условию из вершин-рыцарей и из вершин-лжецов исходит нечетное количество ребер. Предположим, что в графе 2021 вершина. Получаем противоречие с леммой о рукопожатиях — количество вершин нечетной степени нечетно.

Для каждой карточки рассмотрим другую, дополняющую её до полного набора(например, для карточки такой карточкой будет ). Ясно, что все карточки разбиваются на непересекающихся пар карточек, дополняющих друг друга до полного набора. Далее мы докажем, что в любом искомом наборе обязательно есть ровно по одной карточке из каждой такой пары, т. е.

Из условия следует, что максимум одна карточка из пары может быть среди выбранных, иначе уже есть полный набор. Теперь покажем, что из каждой пары должна быть хотя бы одна карточка. Рассмотрим пару дополняющих друг друга карточек, обозначим их и Предположим, что они обе не входят в выбранный набор. По условию при добавлении любой карточки из колоды найдётся полный набор. Добавив в набор мы найдём несколько карточек, дополняющих до полного набора, т. е. все цифры на этих карточках просто совпадают с множеством цифр на карточке . Аналогично, добавив карточку , мы найдём несколько карточек из набора, цифры на которых совпадают с множеством цифр на карточке Тогда объединим все эти карточки (которые совпадают с наборами на карточках и ) и получим полный набор, противоречие.

Приведём теперь пример возможного набора для Выберем все карточки, на которых нет цифры в данном наборе таких ровно Ясно, что среди них нет полного набора (цифры в принципе нигде нет), и для каждой невыбранной карточки дополняющая к ней содержится среди выбранных, т. е. при её добавлении появится полный набор из этих двух карточек.

Обозначим всё расстояние за , а скорости путника, мотоцикла и грузовика за и соответственно (расстояние измеряем в километрах, а скорость в километрах в час). По условию мотоциклист догнал путника за один час. Их скорость сближения равна , а расстояние между ними , поэтому имеет место уравнение

Через полтора часа после начала движения встретились мотоцикл и грузовик. Их скорость сближения равна , а суммарное пройденное ими расстояние равно , поэтому имеет место уравнение

Преобразуем оба уравнения и получим

Вычтем из второго уравнения первое и получим

откуда находим

Следовательно, путник и грузовик встретились через часа после начала движения. Переводя это время в часы и минуты, получаем, что путник и грузовик встретились в 15:48.

Пусть точка имеет целочисленные координаты , а точка — . Запишем скалярное произведение векторов и двумя способами: через координаты и через угол между ними.

Предположим, все числа нечётны, тогда все выражения в скобках являются чётными числами. Квадрат любого нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 4 (поскольку ), поэтому каждая из скобок в правой части является чётным числом, не делящимся на 4 . Получаем противоречие с тем, что левая часть равенства делится на , а правая на 8 не делится.

Пусть прямая пересекает прямую в точке .

Заметим, что , поэтому треугольник является равнобедренным и . Докажем, что отрезок является его медианой отсюда последует, что он также является и высотой, и трапеция окажется прямоугольной (в силу того, что ).

Треугольники и подобны с коэффициентом , а также треугольники и подобны с коэффициентом . Эти коэффициенты подобия равны, поскольку параллельные прямые и высекают на прямых и пропорциональные отрезки (также это можно вывести из подобия треугольников и . Итак,

Если , то всё очевидно. Если , поделим равенство на и перенесём в другую часть, получим

Рассмотрим на координатной плоскости две точки: и , а также обозначим тогда .

Точка с координатами и лежит на прямой .

Но также ясно, что эти три точки лежат на графике функции . Так как эта функция является вогнутой (например, потому, что её вторая производная отрицательна), то с прямой может пересекаться максимум по двум точкам, а это значит, что какие-то два из трёх чисел совпадают: