Тема . Курчатов - задания по годам

Курчатов 2022

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела курчатов - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70783

Положительные числа a,b,c,d  больше 1.  Найдите наименьшее возможное значение выражения

   ( 2)     (2 3)    ( 56)     ( 35 36)
loga ab + logb bc  +logc c d + logd d a

Источники: Курчатов-2022, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Показать ответ и решение

По формуле перехода к новому основанию log b⋅log c⋅log d⋅log a= 1.
  a    b    c    d  Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа a,b,c,d  больше 1.

Преобразуем и оценим имеющееся выражение

       ( 2)     (23)     ( 56)     (35 36)
S =logaab  +logbb c + logc cd  + logd d a  =

 (          2)  (   2      3) (    5     6)  (    35      36)
= logaa +logab  + logbb + logbc  + logcc + logcd +  logdd  +logda   =

= (1+ 2logab)+ (2+ 3logbc)+ (5+ 6logcd)+ (35+ 36logda)≥

≥ (1+2 +5+ 35)+4∘42-log-b⋅3log-c⋅6log-d⋅36log-a-=43+ 4⋅6= 67
                     a     b     c      d

здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел 2logab,3logbc,6logcd,36logda.

Также отметим, что значение S = 67  достигается, например, при a= 2,b=  8,c= d= 64,  поскольку все четыре числа 2loga b,3logbc,6logcd,36logda  будут равны 6.

Ответ: 67

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!