Тема Всесиб - задания по годам

Всесиб 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66866Максимум баллов за задание: 7

На некотором острове живёт $100$ человек, каждый из которых является либо рыцарем, который всегда говорит правду, либо лжецом, который всегда лжёт.

Однажды все жители этого острова выстроились в ряд, и первый из них сказал:

“Количество рыцарей на этом острове является делителем числа

Затем второй сказал:

“Количество рыцарей на этом острове является делителем числа

и так далее до сотого, который сказал:

“Количество рыцарей на этом острове является делителем числа

Определите, сколько рыцарей может проживать на этом острове. Найдите все ответы и докажите, что других нет.

Источники: Всесиб-2022, 7.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про человека, который был первым рыцарем? Чему равно число рыцарей, если мы знаем номер первого из них?

Подсказка 2

Число рыцарей равно номеру первого рыцаря, поскольку, если он первый, значит все до этого соврали, а это значит, что кол-во рыцарей не делится ни на какие числа от 1 до х, где х - номер первого рыцаря. Что тогда это дает? На каких позициях стоят другие рыцари?

Подсказка 3

Рыцари стоят на позициях х,2х,3х,….,х^2. Ведь рыцарей ровно х, и при этом все люди, которые стоят на местах х,2х,…,х^2 не соврали. Теперь мы знаем, где стоят рыцари. А какие условия это накладывает на х? Что , в силу этих условий, можно сказать про их кол-во?

Подсказка 4

В силу этих условий, получаются две оценки: х^2<=100, x(x+1)>100. Откуда х=10. Но нет ли в наших рассуждениях какой-то ошибки, за которую могут снять 1-2 балла? Вспомните рассуждения и найдите ее.

Подсказка 5

Верно, в наших рассуждениях, мы сначала брали первого рыцаря, а потом что-то из этого находили. Но мы не задумались, что первого рыцаря может и не быть! А ведь такая ситуация тоже подходит.

Показать ответ и решение

Если рыцарей нет, то все говорящие врут, так как $0$ не является делителем какого-либо натурального числа.

Если рыцари есть, то пусть первый рыцарь имеет номер $x.$ Тогда число рыцарей является делителем числа $x,$ но не будет являться делителем чисел $1,2...,x− 1,$ поскольку до него все лгали. Легко видеть, что тогда число рыцарей равно $x.$ Тогда ему кратны только числа $x,2x,3x,...,kx.$ Здесь $kx≤ 100,(k+1)x> 100.$ Ровно на этих позициях и только на них и должны стоять рыцари, откуда всего их будет $k= x.$ Имеем $2 x ≤ 100,x(x+ 1)> 100.$ Под это условие подходит только $x= 10.$ В качестве примера достаточно поставить рыцарей на позиции $10,20,...100.$

Ответ:

$0$ и $10$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71444Максимум баллов за задание: 7

Десятичная запись натурального числа $N$ содержит каждую цифру от 0 до 9 ровно один раз. Обозначим через $A$ сумму пяти двузначных чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой $,...,$ девятой и десятой цифр $N$ , а через $B$ — сумму четырёх двузначных чисел, составленных из второй и третьей, четвёртой и пятой $,...,$ восьмой и девятой цифр $N.$ Оказалось, что $A$ равно $B,$ может ли $N$ начинаться с чётной цифры?

Источники: Всесиб-2022, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишем условие с помощью десятичной записи чисел. Какое уравнение на числа A и B у нас получится и что из него будет следовать?

Подсказка 2

Понимаем, что сумма первой и последней цифры числа делится на 9! Какой тогда может быть их сумма? Как найти связь между цифрами на четных позициях и на нечетных?

Подсказка 3

Подставляем в наше уравнение из подсказки 1 сумму первой и последней цифры, которая равна 9(почему?). Теперь мы можем найти связь между суммами цифр на четных позициях и на нечетных, а также мы знаем сумму всех цифр. Остаётся лишь осознать, как это применить)

Показать ответ и решение

Пусть $N = aa-...aa-a-, 12 8 9 10$ где $a ,a,...,a,a ,a 1 2 8 9 10$ — некоторая перестановка чисел $0,1,2,...,8,9.$ Тогда

---- ---- ----- A = a1a2+ a3a4+ ...+ a9a10 = 10(a1+a3+ ...+ a9)+ (a2+a4+ ...+ a10)

---- ---- ---- B =a2a3+ a4a5+ ...+ a8a9 = 10(a2+a4+ ...+ a8)+ (a3+a5+ ...+ a9)

Если $A= B,$ то

10a + 9(a + ...+ a)+ a = 9(a + a + ...+a ) 1 3 9 10 2 4 8

Отсюда следует, что $a1+ a10$ делится на 9.

Одна из двух различных цифр $a1,a10$ ненулевая, поэтому

a1+ a10 ≥0 +1= 1 и a1+ a10 ≤8+ 9= 17

1 ≤a1+ a10 ≤17⇒ a1 +a10 = 9

Значит,

a1+ a3+...+a9+ 1= a2+ a4 +...+ a8

Вспомним, что $a1,a2,...,a8,a9,a10$ — некоторая перестановка чисел $0,1,2,...,8,9,$ поэтому сумма всех цифр $a1,a2,...,a8,a9,a10$ равна $0+ 1+ 2+...+9 =45$ — нечётна. Тогда

a1+ a3+ ...+ a9 +a2+ a4+...+a8+ a10+1 =46= 2(a2+a4+ ...+ a8)+a10

Следовательно, цифра $a 10$ чётна, а цифра $a =9 − a 1 10$ — нечётная цифра.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71445Максимум баллов за задание: 7

Найти все решения в действительных числах системы уравнений

(| x(1 +yz)= 9 { y(1 +xz)= 12 |( z(1+ xy)= 10

Источники: Всесиб-2022, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях степени небольшие, поэтому не составит труда немного поработать ручками и с помощью простых преобразований прийти к чему-то более красивому. Быть может, стоит попробовать выразить все переменные через одну из них?

Подсказка 2

Вычтем первое уравнение из двух других, теперь мы знаем, как выразить все переменные через одну! Теперь можно подставить их в любое уравнение и что-то понять.

Подсказка 3

Получится кубическое уравнение, у которого можно угадать корень. Остается лишь найти остальные или доказать, что их нет!

Показать ответ и решение

Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим:

{ y− x = 3 z− x = 1

Подставим выражения $y = x+ 3,z = x+1$ в первое уравнение, получим

x(x+ 3)(x+ 1)+ x= 9

x3+4x2+ 4x− 9=0

Одним из его корней является $x= 1,$ поэтому

x3+4x2+ 4x− 9 =(x− 1)(x2+ 5x+ 9)

Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем кубического уравнения и решением исходной системы является $x= 1.$ Тогда $y = x+ 3= 4,z =x +1= 2.$

Ответ:

$(1,4,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71446Максимум баллов за задание: 7

Перестановка чисел $1,2,3,...,n$ в некотором порядке называется забавной, если в ней каждое число, начиная со второго слева, либо больше всех чисел, стоящих левее него, либо меньше всех чисел, стоящих левее него. Например, перестановка $3,2,1,4,5,6$ является забавной, а перестановка $3,1,2,4,5,6$ — нет. Найти количество всех различных забавных перестановок чисел $1,2,3,..,n.$

Источники: Всесиб-2022, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если собирать последовательности с первого элемента, то будет трудно...но можно пойти с конца! Сколько есть вариантов для последней позиции?

Подсказка 2

Всего 2!(какие?). Теперь мы можем выбирать предпоследнюю цифру, но ведь она связана с последней? Какие тогда комбинации последних двух цифр могут быть?

Подсказка 3

(n-1, n), (1, n), (2, 1), (n, 1). Интересно, было 2 варианта, стало 4...попробуем обобщить наши рассуждения. Подумаем, как выглядят первые k чисел при любом k от 1 до n.

Показать ответ и решение

Пойдём с конца. Последнее число $a n$ забавной перестановки либо больше, либо меньше всех чисел множества $1,2,3,..,n,$ следовательно, оно равно 1 или $n.$ Предпоследнее число $an−1$ забавной перестановки либо больше, либо меньше всех чисел множества $1,2,3,...,n,$ кроме $an,$ то есть это наименьший или наибольший элемент во множестве $1,2,3,...,n− 1$ или во множестве $2,3,...,n.$ В каждом из случаев есть ровно две возможности выбора, варианты для двух последних чисел перестановки выглядят так $(n − 1,n),(1,n),(2,1),(n,1).$ Несложно убедиться, что при любом $k =n,n− 1,...,2,1$ первые $k$ чисел $a1,a2,...,ak$ перестановки образуют интервал из $k$ подряд идущих чисел из множества $1,2,3,...,n,$ а число $ak$ является в этом интервале минимальным или максимальным — всего две возможности, кроме самого первого числа $a1,$ для которого остаётся единственная возможность. Всего получаем ровно $n−1 2$ возможностей выбора.

Ответ:

$2n−1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71447Максимум баллов за задание: 7

Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC,$ точка $M$ — середина стороны $AC.$ На стороне $AB$ выбрана точка $K$ такая, что прямая $BH$ делит отрезок $CK$ пополам. Доказать, что отрезки $MH$ и $CK$ перпендикулярны.

Источники: Всесиб-2022, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть прямая BH, которая делит отрезок пополам...чем-то напоминает медиану в треугольнике, с которой можно выполнить полезное дополнительное построение. Какое?

Подсказка 2

Удвоим отрезок BP, отметив новую точку T, после чего у нас появится параллелограмм. Теперь мы можем посчитать в нем уголки. Вернемся к условию. Чем являются MN и KP для треугольников на рисунке? На чертеже много прямых и равных углов, быть может, стоит попробовать найти подобие?

Подсказка 3

Заметим, что MH и CP это медианы треугольников BCT и AHC, в которых есть перпендикулярные стороны. Что же осталось доказать?)

Показать доказательство

$PIC$

Обозначим точку пересечения отрезков $CK$ и $BH$ за $P.$ Отметим на луче $BH$ точку $T$ такую, что $P$ является серединой отрезка $BT.$

Диагонали $BT$ и $CK$ четырёхугольника $BCT K$ делятся точкой пересечения $P$ пополам, поэтому он является параллелограммом, его стороны $BK$ и $CT$ параллельны и $∠CT B =∠KBT,$ то есть $90∘− ∠A,$ а $∠CBT = 90∘− ∠C.$

В треугольнике $AHC$ $∠HAC =90∘− ∠C,$ $∠HCA =90∘− ∠A,$ следовательно, треугольники $AHC$ и $BCT$ подобны. Их соответствующие стороны $AC$ и $BT$ перпендикулярны, а отрезки $MH$ и $CP$ являются медианами этих треугольников, проведёнными к соответствующим сторонам, поэтому тоже перпендикулярны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71448Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что для любых действительных чисел $x,y,z$ из интервала $[0,1]$ выполнено неравенство

x+-y x+-z y-+z 2+ z + 2+ y + 2 +x ≤2

Источники: Всесиб-2022, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать классическое неравенство существует достаточно способов, но при переменных, заданных промежутком, можно отдельно пооценивать разные части выражения.

Подсказка 2

Рассмотрим первую дробь: в ее числителе сумма двух переменных, не превосходящих единицу, следовательно, их сумма не превосходит 2.

Подсказка 3

Перейдем к знаменателю! Здесь тоже сумма! Ваша очередь оценивать!

Подсказка 4

Теперь дробь целиком! Числитель не больше двух, знаменатель - трёх, значит, дробь не превышает 2/3.

Подсказка 5

Аналогичная оценка работает на других слагаемых нашего выражения: если каждое из них не превосходит 2/3, то их сумма не превосходит 2!

Показать доказательство

По условию, все числа неотрицательны и не превосходят 1 следует, что их попарные суммы $x+y,x+ z,y +z$ не больше 2. Заменим в знаменателе каждой дроби левой части неравенства 2 на соответствующую сумму, от чего каждый знаменатель не увеличится и неравенство усилится. Получим:

x+ y x+ z y+ z x+ y x+ z y+ z 2(x+ y+ z) 2+-z + 2+-y + 2+-x ≤x-+y-+z +x-+z+-y +y-+z+-x =-x+y-+z-= 2